测量数据处理理论与方法-1

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1、2015-10-26测量数据处理理论与方法（现代测量数据处理理论）黄海兰武汉大学测绘学院2015年10武汉大学测绘学院孙月25日海燕第一章估计方法与广义测量平差第一节概述一、估计问题©平差问题的本质：构造Xˆ(L)，令Xˆ=Xˆ(L)X为未知参数，为随机向量（样本）L¢参数的分类：非随机参数（倾向参数）静态参数随机参数（信号）动态参数：状态（位置、速度、加速度等）¢估计方法取决于估计准则武汉大学测绘学院黄海兰12015-10-26第一章估计方法与广义测量平差二、估计误差及其方差设参数X的估值为Xˆ=

2、Xˆ(L)，则估计误差为Δˆ=X−Xˆ(L)=X−XˆX¢估计误差的方差：（衡量参数估值精度的指标）TD(ΔXˆ)=E[(ΔXˆ−E(ΔXˆ))(ΔXˆ−E(ΔXˆ))]T当，E(ΔXˆ)=0时D(ΔXˆ)=E[ΔXˆΔXˆ]当，D(X)=0时D(ΔXˆ)=D(Xˆ)=DXˆ武汉大学测绘学院黄海兰第一章估计方法与广义测量平差三、最优估计量应具有的性质1、一致性：对任意的ε>0有limP(X−ε

3、X−μ

4、

5、<ε)≥1−2（切比雪夫不等式）ε2、无偏性：E(Xˆ)=E(X)E(Xˆ)→E(X)3、有效性：若D(ΔXˆ)≤D(ΔXˆ∗)∗则称Xˆ比Xˆ有效（正定阵大小的比较）武汉大学测绘学院黄海兰22015-10-26第一章估计方法与广义测量平差第二节多维正态分布一、多维正态分布的定义与性质21、一元正态分布X～N(μ,σ)211(x−μ)f(x)=exp{−}22πσ2σ∞数学期望：μ=E(X)=∫xf(x)dx−∞∞22方差：σ=D(X)=∫(x−μ)f(x)dx−∞标准正态分布：X～N(0,1)武

6、汉大学测绘学院黄海兰第一章估计方法与广义测量平差2、多维正态分布T设，Z=[Z1Z2"Zm]Zi,Zj相互独立，Z～N(0,I)则，E(Z)=0,D(Z)=IZ的联合分布的概率密度为：mmmm−212−1Tf(z)=(2π)exp{−∑z}=(2π)2exp{−∑zz}i2i=12i=1令，有T，令X=AZ+μ，有E(X)=μ,D(X)=AA=D，X称服X从多维正态分布，记为TX～N(μ,AA)或X～N(μ,DX)武汉大学测绘学院黄海兰32015-10-26第一章估计方法与广义测量平差3、多维正态分

7、布性质1）正态随机向量的线性函数服从正态分布设，X～N(μ,DX)Y=BX+b，则E(Y)=Bμ+bTTD(Y)=BDXB，于是Y～N(Bμ+b,BDXB)2）正态分布的边缘分布仍是正态分布记⎡X1⎤⎡μ1⎤⎡D11D12⎤X=⎢⎥μ=⎢⎥DX=⎢⎥⎣X2⎦⎣μ2⎦⎣D21D22⎦则X1～N(μ1,D11)X2～N(μ2,D22)武汉大学测绘学院黄海兰第一章估计方法与广义测量平差二、多维正态分布的密度函数设X～N(μ,DX)，

8、DX

9、≠0，则X的概率密度为m,1m1−−1f(x)=(2π)2

10、D

11、2

12、exp{−(x−μ)TD−1(x−μ)}XX2方差阵：2⎡σσ"σ⎤1121m⎢2⎥σσ"σD=⎢1222m⎥X⎢""""⎥⎢⎥2⎢⎣σm1σm2"σm⎥⎦2σi为Xi的方差，σij为Xi与Xj的协方差武汉大学测绘学院黄海兰42015-10-26第一章估计方法与广义测量平差•正态随机向量的边缘概率密度设⎡X1⎤⎡μ⎤⎡DD⎤⎢n,1⎥1D=1112X=μ=⎢⎥X⎢⎥n+t,1⎢X2⎥⎣μ2⎦⎣D21D22⎦⎣t,1⎦则n1−−1f(x)=(2π)2

13、D

14、2exp{−(x−μ)TD−1(x−μ)}11

15、111111112t1−−1f(x)=(2π)2

16、D

17、2exp{−(x−μ)TD−1(x−μ)}22222222222武汉大学测绘学院黄海兰第一章估计方法与广义测量平差三、正态随机向量的条件概率密度©定义:f(x/x)=f(x1,x2)f(x1,x2)21f(x1/x2)=f1(x1)f2(x2)f(x,x)=f(x/x)f(x)=f(x/x)f(x)1221111222©试求：f(x2/x1)，类比求：f(x1/x2)m1−−1f(x)=(2π)2

18、D

19、2exp{−(x−μ)TD−1(x−μ)}X

20、X2T−1T−1©分析：(x−μ)DX(x−μ)=(x1−μ1)D11(x1−μ1)+•DD−1⎡−1⎤••−1⎡1112⎤D110⎡⎤DX=⎢⎥=⎢⎥+⎢⎥

21、DX

22、=

23、D11

24、⋅

25、•

26、⎣D21D22⎦⎣00⎦⎣••⎦武汉大学测绘学院黄海兰52015-10-26第一章估计方法与广义测量平差−1•求：DXDD#E0−1⎡−1−1⎤⎡1112⎤D11(1)ED11D12#D110⎢⎥⎢⎥⎣D21D22#0E⎦⎣D21D22#0E⎦−D(1)+(2)−1−121⎡ED11D