测量数据处理理论与方法-2.pdf

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1、2015-11-28测量数据处理理论与方法（现代测量数据处理理论）黄海兰武汉大学测绘学院2015年11武汉大学测绘学院孙月22日海燕第二章最小二乘平差的统一理论和方法第一节概述一、最小二乘平差的数学模型与解算22−1L=BX+ΔE(Δ)=0D(Δ)=DΔ=σ0Q=σ0P(

2、Q

3、≠0)000引入参数的近似值X，则X=X+x，令l=L−BXT−1T得：l=Bx+Δ参数估值：xˆ=(BPB)BPlT误差方程：V=Bxˆ−l(

4、BPB

5、≠0⇒rank(B)=t=u)T2VPV平差准则：VTPV=min单位权方差：σˆ=0n−t法

6、方程：BTPBxˆ=BTPl参数协因数阵：T−1Qxˆxˆ=(BPB)武汉大学测绘学院黄海兰12015-11-28第二章最小二乘平差的统一理论和方法二、基准不足的平差问题：秩亏自由网平差T1、使得

7、BPB

8、=0⇒rank(B)=t

9、测值有函数关系的随机变量2、推估：参数为与观测值无函数关系的随机变量3、配置：同时含有随机与非随机参数'L=BX+0⋅X+GY+Δ四、观测值协方差阵奇异的平差问题1、导致

10、DΔ

11、=0的原因2、平差准则的确定五、最小二乘平差的统一理论武汉大学测绘学院黄海兰22015-11-28第二章最小二乘平差的统一理论和方法第二节秩亏自由网平差¢问题的提出：•经典平差（间接平差）数学模型为：L=BX+Δ或EL()=BXnt,1,1高斯-马尔科夫模型VB=xlˆ−22−1DL()==σσQP00VTPV=minTTTR()(BPBRBt=

12、)=TT−1BPBxBPlˆ=xˆ=()BPBBPl©满秩平差的条件：具有足够的起算数据¾没有足够的起算数据©秩亏自由网平差武汉大学测绘学院黄海兰第二章最小二乘平差的统一理论和方法©右图为一简单水准网，各段路线长度相等，高差为等权观测：¾假定x3的高程已知，误差方程为：⎡vl11⎤⎡10⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤x1⎢⎥vl=−11⎢⎥−⎢⎥⎢22⎥⎢⎥x⎢⎥⎣⎦2⎢⎣vl⎥⎢⎦⎣01−⎥⎦⎢⎥⎣⎦33VBxl=−ˆ3,13,22,13,110•因B中二阶行列式=1≠0，故RB()2=,即B为列满秩阵−11¾法方程为：⎡⎤21−

13、TTT⎢⎥xˆ=BlRBB()2=¾即为BB满秩方阵⎣⎦−12TT−1©法方程有唯一解：xˆ=()BBBl经典自由网平差武汉大学测绘学院黄海兰32015-11-28第二章最小二乘平差的统一理论和方法©右图为一简单水准网，各段路线长度相等，高差为等权观测：¾假定x点的平差值Xˆ=Xx0+ˆ，3333令：XX0=ˆ则有：xˆ3=0333•函数模型为：附有限制条件⎡⎤⎡vx101−⎤⎡⎤⎡⎤ˆl111⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥vx=−110ˆ−l⎢⎥⎢22⎥⎢⎥⎢⎥2无起始高程⎢⎥⎢⎣⎦⎣vx011−⎥⎢⎥⎢⎥⎦⎣⎦⎣⎦ˆl的333间接

14、平差⎡⎤xˆ1[]001⎢⎥xˆˆ=0（即x=0）给定起始高程⎢⎥23⎢⎥⎣⎦xˆ3武汉大学测绘学院黄海兰第二章最小二乘平差的统一理论和方法©右图为一简单水准网，各段路线长度相等，高差为等权观测：¾若网中无起始高程，•函数模型为：附有限制条件的间⎡⎤⎡vx101−⎤⎡⎤⎡⎤ˆl111⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥vx=−110ˆ−l⎢⎥⎢22⎥⎢⎥⎢⎥2无起始高程⎢⎥⎢⎣⎦⎣vx011−⎥⎢⎥⎢⎥⎦⎣⎦⎣⎦ˆl333接1⎡⎤0xˆ1−1平差⎢⎥010给定起始高程[]B001=−1⎢⎥1xˆˆ230==0（即x=0）=1≠0−110−⎢

15、⎥⎣⎦1xˆ13V故：RB()23=≠,B为列秩亏阵武汉大学测绘学院黄海兰42015-11-28第二章最小二乘平差的统一理论和方法V法方程系数阵：2−1−12−1TN=BB=−12−1=0;=3≠0−12−1−12TRN()(==RBB)()2RB=−1¾凯利逆N不存在¾法方程没有唯一解©秩亏自由网平差武汉大学测绘学院黄海兰第二章最小二乘平差的统一理论和方法第二节秩亏自由网平差一、平差原理（基准的概念）考虑误差方程：V=Bxˆ−l式中rank(B)=t0TT法方程：BPBx

16、ˆ=BPl⇒Nxˆ=W由于rank(N)=rank(B)=t

17、N

18、=0所以误差方程的最小二乘解不唯一武汉大学测绘学院黄海兰52015-11-28第二章最小二乘平差的统一理论和方法¢秩亏数的计算©产生秩亏的原因：缺少必要的起算数据（平差问题的基准）¾秩亏数d：网形中缺少的必要起算数据（基准）个数¢独立网的经典测量