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1、8.1椭圆及其标准方程（一）yyyy年M月d日星期2021/9/411997年初，中国科学院紫金山天文台发布了一条消息，从1997年2月中旬起,海尔·波普彗星将逐渐接近地球，过4月以后,又将渐渐离去,并预测3000年后,它还将光临地球上空.1997年2月至3月间,许多人目睹了这一天文现象.天文学家是如何计算出彗星出现的准确时间呢？原来，海尔·波普彗星运行的轨道是一个椭圆，通过观察它运行中的一些有关数据，可以推算出它的运行轨道的方程，从而算出它运行周期及轨道的的周长.太阳彗星2021/9/421.如何画出一个椭园?？[1]取一条细绳，[
2、2]把它的两端固定在板上的两点F1，F2[3]用铅笔尖(M)把细绳拉紧,在板上慢慢移动看看画出的图形观察做图过程：[1]绳长应当大于F1、F2之间的距离。[2]由于绳长固定，所以M到两个定点的距离和也固定。F1F2M2021/9/43椭圆的定义:平面内到两个定点F1，F2的距离和等于常数（=2a，2a>
3、F1F2
4、)的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两个焦点的距离叫做焦距(=2c).注意：1椭圆是一个平面图形2动点到两定点的距离之和为定长2a3常数2a要大于2c
5、MF1
6、+
7、MF2
8、=2a>2c绳长大于2c时，轨
9、迹是椭圆；绳长等于2c时，轨迹是以F1、F2为端点的线段；绳长小于2c时，无轨迹.椭圆的几何等式：F1F2M新课教学2021/9/441.平面内与两个定点F1,F2的距离和等于常数(大于
10、F1F2
11、)的点的集合叫做椭圆.()3.与两个定点F1,F2的距离和等于常数(大于
12、F1F2
13、)的点的集合叫做椭圆.()判断下列各题的正误:√××练习一：2021/9/45思考:yx椭圆的标准方程(1).如何求曲线的方程?(2).你认为怎样建立坐标系才能使椭圆的方程简单?F1F2Ｏ以经过椭圆两焦点F1,F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴
14、，建立直角坐标系.设点M(x,y)是椭圆上的任意一点M(x,y)设Ｍ与Ｆ１，Ｆ２的距离的和是2a,椭圆的焦距为2c(c>0),则F1(-C,0),F2(C,0).(-C,0)(C,0)2021/9/46(a2-c2)x2+a2y2=a4-a2c22021/9/47化简：观察与思考：cayxF1F2Ｐob(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)2021/9/48y讨论:如果焦点F1,F2在y轴上,且F1,F2的坐标分别为(0,-c),(0,c),a,b的意义同上,那么椭圆的方程是什么?ＸF1F22021/9/49F1F2M(x,
15、y)oxyF2yxoF1M(x,y)焦点在x轴上,焦点是F1(-c,0)、F2(c,0)焦点在y轴上,焦点是F1(0,-c)、F2(0,c)2021/9/410注意:2.两种方程中a、b、c间关系3.焦点位置不同,方程不同，即看x2,y2分母的大小确定焦点是在x轴上还是在y轴上4.确定a、b,就可确定椭圆方程abc1.椭圆的标准方程，一定是焦点在坐标轴上，两焦点连线的中点为坐标原点2021/9/4111.判断下列椭圆的焦点在哪个轴上?并指明,写出焦点坐标.(-3,0),(3,0)(0,-5),(0,5)(0,-1),(0,1)答:x轴
16、;25,16;答:y轴;169,144;答:y轴;练习二：2021/9/4122.写出适合下列条件的椭圆的标准方程:(1)a=4,b=1,焦点在x轴上.(2)a=4,c=焦点在y轴上.(3)a+c=10,a-c=42021/9/413解：1）（关键点）椭圆的焦点在x轴上。所以标准方程为：因为：2a=10,2c=8所以a=5,c=4则椭圆的标准方程为例1、求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）两个焦点的坐标分别是（－4,0）、（4,0）椭圆上一点P到两焦点距离的和等于10；例题解析若将焦点改为(0,-4)、（0，4）其结果如何2021/
17、9/414解:(2)焦点在y轴上，标准方程为：所以所求椭圆的标准方程为例1、求适合下列条件的椭圆的标准方程：(2)两个焦点的坐标分别是（0,-2）（0,2）并且椭圆经过点解法二：由已知焦距，求出长轴与短轴的关系，设出椭圆方程，由点在椭圆上的条件，用待定系数的办法得出方程2021/9/415例1已知B、C是两个定点，
18、BC
19、=6，且△ABC的周长等于16，求顶点A的轨迹方程.ABCxyO解：建系如图，由题意
20、AB
21、+
22、AC
23、+
24、BC
25、=16，
26、BC
27、=6，有
28、AB
29、+
30、AC
31、=10，∴由椭圆的定义知：点A的轨迹是椭圆，2c=6,2a=1
32、0，∴c=3，a=5，b2=a2-c2=52-32=16.故顶点A的轨迹方程是：2021/9/416例2、（2008浙江）已知F1,F2为椭圆的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点，若︱F2A︱+︱F2B︱=12，则
