2019_2020学年高中数学第一章计数原理1.3.1二项式定理练习（含解析）新人教A版

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1、1.3.1二项式定理[A　基础达标]1.在的二项展开式中，x的系数为(　　)A．10　　　　　　　　　　B．－10C．40D．－40解析：选D．Tr＋1＝C(2x2)5－r＝(－1)r·25－r·C·x10－3r，令10－3r＝1，得r＝3.所以x的系数为(－1)3·25－3·C＝－40.故选D．2.(4x－2－x)6(x∈R)展开式中的常数项是(　　)A．－20B．－15C．15D．20解析：选C．由题意得Tr＋1＝C(4x)6－r·(－2－x)r＝(－1)r·C2(12－3r)x，令12－3r＝0，得r＝4

2、，则常数项为(－1)4C＝15，故选C．3.二项式(1＋)6的展开式中有理项系数之和为(　　)A．64B．32C．24D．16解析：选B．二项式(1＋)6的展开式的通项为Tr＋1＝Cx，令为整数，可得r＝0，2，4，6，故展开式中有理项系数之和为C＋C＋C＋C＝32，故选B．4.若二项式(x＋2)n的展开式的第4项是，第3项的二项式系数是15，则x的值为(　　)A．B．C．D．解析：选B．由二项式(x＋2)n的展开式的第4项为23Cxn－3，第3项的二项式系数是C，可知C＝15，23Cxn－3＝，可得n＝6，x

3、＝，选B．5.(2019·四平高二检测)(1－x)4(1－)3的展开式中x2的系数是(　　)A．－6B．－3C．0D．3解析：选A．因为(1－x)4(1－)3＝(1－4x＋6x2－4x3＋x4)(1－3x＋3x－x)，所以x2的系数是－12＋6＝－6.6.如果的开展式中，x2项为第三项，则自然数n＝________.解析：因为Tk＋1＝C()n－k＝Cx，由题意知k＝2时，＝2，所以n＝8.答案：87.设n为自然数，化简C·2n－C·2n－1＋…＋(－1)k·C·2n－k＋…＋(－1)n·C＝________.

4、解析：原式＝C·2n·(－1)0＋C2n－1·(－1)1＋…＋(－1)k·C2n－k＋…＋(－1)n·C·20＝(2－1)n＝1.答案：18.(2019·临沂高二检测)设二项式(a>0)的展开式中x3的系数为A，常数项为B.若B＝4A，则a的值是________.解析：对于Tr＋1＝Cx6－r(－ax)r＝C(－a)rx，B＝C(－a)4，A＝C·(－a)2.因为B＝4A，a>0，所以a＝2.答案：29.记的展开式中第m项的系数为bm.(1)求bm的表达式；(2)若n＝6，求展开式中的常数项；(3)若b3＝2b

5、4，求n.解：(1)的展开式中第m项为C·(2x)n－m＋1·＝2n＋1－m·C·xn＋2－2m，所以bm＝2n＋1－m·C.(2)当n＝6时，的展开式的通项为Tr＋1＝C·(2x)6－r·＝26－r·C·x6－2r.依题意，6－2r＝0，得r＝3，故展开式中的常数项为T4＝23·C＝160.(3)由(1)及已知b3＝2b4，得2n－2·C＝2·2n－3·C，从而C＝C，即n＝5.10.已知的展开式中，前三项的系数成等差数列.(1)求展开式中含x的项；(2)求展开式中所有的有理项.解：(1)由已知可得C＋C·＝

6、2C·，即n2－9n＋8＝0，解得n＝8或n＝1(舍去).故Tk＋1＝C()8－k·＝C·2－k·x，令4－k＝1，得k＝4，所以含x的项为T5＝C×2－4x＝x.(2)令4－k∈Z，且0≤k≤8，则k＝0或k＝4或k＝8，所以展开式中的有理项分别为T1＝x4，T5＝x，T9＝.[B　能力提升]11.若对于任意实数x，有x3＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3，则a2的值为(　　)A．3B．6C．9D．12解析：选B．x3＝[2＋(x－2)]3，a2＝C×2＝6.12.设(x－)n的展开式

7、中第二项与第四项的系数之比为1∶2，求含x2的项.解：(x－)n的展开式中第二项与第四项分别为T2＝C·xn－1·(－)＝－nxn－1，T4＝C·xn－3·(－)3＝－2Cxn－3.根据题意得到＝，整理得n2－3n－4＝0，解得n＝4或n＝－1(没有意义，舍去).设(x－)4的展开式中含x2的项为第(r＋1)项，则Tr＋1＝C·x4－r·(－)r(r＝0，1，2，3，4)，根据题意有4－r＝2，解得r＝2，所以(x－)4的展开式中含x2的项为T3＝C·x2·(－)2＝12x2.13.(选做题)已知在的展开式中，

8、第9项为常数项．求：(1)n的值；(2)展开式中x5的系数；(3)含x的整数次幂的项的个数.解：二项展开式的通项为Tk＋1＝C·＝(－1)kCx.(1)因为第9项为常数项，即当k＝8时，2n－k＝0，即2n－20＝0，解得n＝10.(2)令2n－k＝5，得k＝(2n－5)＝6，所以x5的系数为(－1)6C＝.(3)要使2n－k，即为整数，只需k为偶数，由于k＝0，1，2，3，…，9，1