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1、探索发现型问题的解题策暁1・引言初中数学中的“探索发现”型试题是需要经过推断、补充并加以证明的命题，它不像传统的解答题或证明题，定型于“条件一演绎一结论”这样一个封闭的模式中。由于命题中缺少一定的题设或未给出明确的结论，因此必须利用题设大胆猜想、分析、比较、归纳、推理，由条件去探索不明确的结论;或由结论去探索未给予的条件；也或者去探索存在的各种可能性及发现所形成的客观规律.在近儿年的中考试题中，探索性问题屡屡出现，出题的角度越來越新颖，考察的能力要求越来越高，深受关注•但是，数学探索性问题的出现在一定程度上给学生的解题带来了诸多怵I
2、难，也给教师的教学提出了新的挑战，为此，笔者现就数学探索性问题的解题策略作探讨.2•“探索发现”型问题的解题方法此类问题由于题型新颖、综合性强、结构独特等，一般并无固定解题思路模式，但是可以从以下几个角度考虑.2.1利用特殊值（特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等）进行归纳、概括，从特殊到一般，从而得出规律.2.2反演推理法，即先假设结论成立，根据假设进行推理，看是推导出矛盾还是能与已知条件一致.2・3分类讨论法•当命题的题设和结论不唯一，难以统一解答时，则需耍按可能出现的情况，分门别类加以讨论求解.2・4类比猜想法，即由一个问题
3、的结论或解决方法类比猜想出另一个类似问题的结论或解决方法，并加以严密论证.以上所述并不能全面概括此类命题的解题策略，因而具体操作时，应更注重数学思想方法的综合运用.3•“探索发现”型问题的分类及知识运用举例2.1条件探索型：这类题结论明确，需要去探索发现使结论成立的条件.对应的解题策略有：(1)模仿分析法•将原的题设和结论视为己知条件，分别进行演绎再有机地结合起來，推导出所需寻求的条件.(2)设出题H中指定的探索条件，将此假设为已知，结合题设条件列出满足结论的等量或不等量关系，通过解方程或不等式，求出所需寻找的条件.例已知，如图AA
4、BC内接于00,(1)当点0与AB有怎样的位置关系时，ZACB是直角？(2)在满足(1)的条件下，过点C作直线交AB于D,当CD与AB有什么样的关系时，△ABCs/XCBDsAACD?(3)画出符合⑴、(2)题意的两种图形，使图形的CD二2cm.解析：(1)当点0在AB上(即0为AB的中点)时，ZACB是直角；(2)VZACB是直角，・••当CD丄AB时，△ABCs/XCBDs^ACD;(2)作直径AB为5的0(),在AB上取一点D,使AD二1,BD二4,过D点作CD丄AB交(DO于C点，连接AC、BC,即为所求(如图所示).评注：
5、木题是一个简单的儿何条件探索题，它突破了过去“假设一求证”的封闭式论证，而是给出问题的结论，逆求结论成立的条件，强化了对学生通过观察、分析、猜想、推理、判断等探索活动的要求•看似平常,实际上非常精彩.3・2结论探索型：这类题条件已知但无明确结论或结论不唯一，需要探索与条件相对应的结论.对应的解题策略有：（1）运用定义或定理直接导出结论；（2）通过具体到抽象，特殊到一般的归纳获得结论，再给出严格证明；（3）通过类比，联想，猜测出结论，再加以证明.例2：（2007北京市改编）我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形•类似地，我们定义
6、：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形.（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；（2）在AABC中，如果ZA是不等于60。的锐角，点D,E分别在AB,AC上，且ZDCB=ZEBC=ZA.探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论.解：（1）回答正确的给1分（如平行四边形、等腰梯形等）.（2）答：此时存在等对边四边形，是四边形DBCE.如图1,作CG丄BE于G点，作BF丄CD交CD延长线于F点.因为ZDCB=ZEBC=ZA,BC为公共边,所以△BCF^ACBG.所以BF=CG.因为ZB
7、DF=ZABE+ZEBC+ZDCB,ZBEC二ZABE+ZA,所以ZBDF=ZBEC.可证△BDF^ACEG.所以BD=CE.所以四边形DBCE是等边四边形.评注：这是一道以探索结论为目的的开放型试题，它不限结论，而是让考生根据条件去探索结论•因此，这类考题对开阔视野、启迪智慧、培养发散思维能力大冇好处。3.3存在探索型：这类问题是指在某种题设条件下，判断具有某种性质的数学对象是否存在.解题的策略与方法：先假设数学对象存在，以此为条件进行运算或推理•若无孑盾，说明假设正确，由此得岀符合条件的数学对象存在;否则，说明不存在.例3：(2
8、005年湖北省黄冈改编)如图在直和坐标系中，0是原点，A、B、C三点的坐标分别为A(18,0)、B(18,6)、C(8,6),四边形0ABC是梯形•点P、Q同时从原点出发，分别做匀速运动，其中点P沿OA向终点A运动，速度为每秒1个单位
