数学建模-概率基础

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1、概率统计模型的概率基础12021年7月17日新乡学院数学建模课程第一部分概率模型一、事件与概率；二、随机变量的期望、方差；三、常用的概率分布及应用主要内容一.事件与概率1.随机试验与事件试验:对自然现象进行一次观察或一次科学试验。随机试验:如果试验可以在相同条件下重复进行多次，而且每次的试验结果事前不可预知，但可以知道所有可能出现的结果。则称为一个随机试验。随机事件:将随机试验的结果称为随机事件。32021年7月17日2.概率与条件概率42021年7月17日一.事件与概率3.统计概率与几何概率52021年7月17日一.事件与概率2.概率与条件概率概率的计算公式一3.统计概率与几何

2、概率62021年7月17日一.事件与概率2.概率与条件概率概率的计算公式二72021年7月17日有关概率和条件概率的两大重要公式：一.事件与概率2.概率与条件概率82021年7月17日全概率公式的应用——敏感性问题分析一.事件与概率2.概率与条件概率问题提出：给出合理的方法估计学生中阅读黄色书刊和观看黄色录像的比率p.操作方法：两个问题A.生日是否在7.1前B.是否看过黄色录像问题假设：（1）被调查者无人情况下回答问题（2）通过抽球模型选择问题，白→A红→B（红白球比例）92021年7月17日全概率公式的应用——敏感性问题分析一.事件与概率2.概率与条件概率调查结果：答卷有“是”

3、“否”两个结果.共收到n张答卷，其中k张结果“是”.问题求解：注：若在一次调查中，袋中红球30个，白球20个，∏=0.6，共收到1583张有效答卷，其中389张回答是可得p=7.62%，这表明约有7.62%的学生看过黄色书刊或黄色录像。102021年7月17日2.概率与条件概率一.事件与概率112021年7月17日贝叶斯公式的应用——可信度问题分析一.事件与概率2.概率与条件概率问题提出：伊索寓言“狼来了”用数学模型给出合理解释问题假设：假设初始印象对小孩可信的概率是0.8，可信的小孩说谎的可能性0.1，不可信的小孩说谎的可能性0.5.122021年7月17日贝叶斯公式的应用——

4、可信度问题分析一.事件与概率2.概率与条件概率问题分析：令初始印象：第一次说谎后：由贝叶斯公式132021年7月17日贝叶斯公式的应用——可信度问题分析一.事件与概率2.概率与条件概率第二次说谎后：第三次说谎后：小孩的可信度不去！应用：银行向某人贷款连续两次不还，银行不会第三次贷给他.应用：医院检查为降低错检率也可用贝叶斯公式进行说明.1.一维随机变量与分布函数二.随机变量的期望、方差随机变量：用数值表示的随机事件的函数。142021年7月17日152021年7月17日二.随机变量的期望、方差1.一维随机变量与分布函数162021年7月17日1.一维随机变量与分布函数二.随机变量

5、的期望、方差2.随机变量的数学期望172021年7月17日二.随机变量的期望、方差2.随机变量的数学期望182021年7月17日二.随机变量的期望、方差2.数学期望——平均收益问题提出：在中国入世后，假设国际市场每年对我国某种出口商品的需求量（单位：吨）在【4000,5200】上服从均匀分布，并且每销售这种商品一吨，可为国家创汇5万元；但若销售不出而囤积在仓库中，则每吨需支付库存及保养费1万元，求使得国家平均销售收益最大需组织的这种出口商品的数量。随机需求问题中的随机决策模型——出口商品的组织问题192021年7月17日二.随机变量的期望、方差（1）数学期望——平均收益解题关键：

6、1.出口商品的销售收益与随机需求量的函数关系式.2.目标函数为平均销售收益，即销售收益的数学期望.3.国家年销售收益最大的出口量即数学上求最值问题.问题分析：出口商品的需求量是服从【4000,5200】上服从均匀分布的随机变量，导致国家每年的收益也是随机的，因此衡量国家的收益就应该是长期出口这种商品的年平均收益。二.随机变量的期望、方差202021年7月17日2.数学期望——平均收益记u为外贸部门每年组织的该种商品的数量，Y为每年国家出口该种商品的销售收益（单位：万元）则收益Y为需求量X的函数，由题设知模型建立：设国际市场每年对某种出口商品的需求量为随机变量X（单位：吨），则X～

7、U[4000,5200],其概率密度为：212021年7月17日二.随机变量的期望、方差2.数学期望——平均收益平均销售收益：模型求解：EY是u的二次函数，用通常求极值的方法可得时达到最大值，故外贸部门组织该种商品5000吨是最好的决策，此时国家出口该商品每年最大的销售收益为EY=22500万元。二.随机变量的期望、方差3.随机变量的方差232021年7月17日二.随机变量的期望、方差3.方差——风险问题提出：设有一笔资金，总量记为1(可以是1万元，也可以是100万元等)，如今要