培优专题2运用公式法进行因式分解(含答案)

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1、2、运用公式法进行因式分解【知识精读】把乘法公式反过来，就可以得到因式分解的公式。主耍有：平方差公式a2-b2=(d+b)(a-b)完全平方公式a1±2ab+bz=(a±b)立方和.立方差公式a3±b3=(a±b)^a2^ab+b2)补充：欧拉公式:d'+b'+c'—3cibc=(d+b+c)(a—cib—be—ca)評+b+C)[(D2+d)2+(c—Q)2]特别地：(1)当d+b+c=0时，a3+b3+c3=3abc(2)当c=0时，欧拉公式变为两数立方和公式。运用公式法分解因式的关键是要弄清各个公式的形式和特点，熟练地掌握公式。但冇时需要经过适当的组合、变形后，方可使用公式。用公式法因

2、式分解在求代数式的值，解方程、儿何综合题中也有广泛的应用。因此，正确掌握公式法因式分解，熟练灵活地运用它，对今后的学习很有帮助。下面我们就来学习用公式法进行因式分解【分类解析】1.把a2+2a-b2-Zb分解因式的结果是()A.(6/-b)(a+2)(/?+2)B.(d-b)(d+b+2)C.(a-b)(a+b)+2D.(a2-2b)(b2-2a)分析：a2+2a-b2-2b=a2+2a+1-b2-2b-I=(a1)2-(b+l)?。再利用平方差公式进行分解，最后得到(d-b)(d+b+2),故选择B。说明：解这类题bl时，-•般先观察现有项的特征，通过添加项凑成符合公式的形式。同时要注意分

3、解•定要彻底。2.在简便计算、求代数式的值、解方程、判断多项式的整除等方面的应用例：己知多项式2j3-x2+m有一个因式是2兀+1,求加的值。分析：山整式的乘法与因式分解互为逆运算，可假设另一个因式，再用待定系数法即可求出加的值。解：根据已知条件，设2x3-x2+/n=(2x+l)(x2+ax+b)贝ij2x3-x2+m=2x3+(2a+l)x2+(a+2b)x+b267+1=-1(1)由此可得｛a+2b=0(2)m=b(3)由(1)得a=-l把。=一1代入(2),得b=-2把/7=丄代入(3),得m=-223.在几何题中的应用。例：已知a、b、c是AABC的三条边，J1满足a?+/?2+c

4、?-ab-bc-dc=O,试判断ABC的形状。分析：因为题中有。2、h-ah,考虑到要用完全平方公式，首先要把-ob转成-2abo所以两边同乘以2,然后拆开搭配得完全平方公式之和为0,从而得解。解：•/a2+b2+c2-ah-be-ac=026/2+2b2+2c2-lab-2bc-2ac=0:.(a2-2"+沪)+(沪-2加+疋)+(疋-2心/)=0(a-h)2+(Z?—c)2+(c—a)2=0v(a-b)2>0,(b-c)2>0,(c-«)2>0.a-b=0,b-c=0,c-a=0:.a-b-c/.ABC为等边三角形。2.在代数证明题中应用例：两个连续奇数的平方差一定是8的倍数。分

5、析：先根据己知条件把奇数表示出来，然后进行变形和讨论。解：设这两个连续奇数分别为2/7+1,2/2+3(72为整数)则(2/Z+3)2-(2n+l)2=(In+3+2“+1)(2“+3—2“一1)=2(4〃+4)=8(n+1)由此可见，(2斤+3)2-(2/1+I)2一定是8的倍数。5、中考点拨：例1：因式分解：x3-4xy2=o解：x3-4x)?2=x(x2-4y2)=x(x+2y)(x-2y)说明：因式分解时，先看有没有公因式。此题应先提取公因式，再用平方差公式分解彻底。例2：分解因式：2兀»+8兀2),2+8兀严二o解：2x3y+8x2y2+Sxy3=2xy(x2+4x)?+4y2)=

6、2xy(x+2y)2说明：先提取公因式，再用完全平方公式分解彻底。题型展示：例1.已知：°=丄血+1,方=丄m+2,(?=丄加+3,222求a-+2ab+—2ac+c—2bc的值。=(a+Z?)2-2c(a+/?)+c2=(a+b-c)2•/a=—m+1,b=—m+2,c-—m+3222原式=(d+/?—c)2(—in+1)+(—m+2)-(—m+3)2221.=—m~4说明：木题属于条件求值问题，解题时没存把条件肓接代入代数式求值，而是把代数式因式分解，变形后再把条件带入，从而简化计算过程。例2.已矢［1g+/?+c二0,a3+h3+c3=0,求证：o'4-Z?5+c5=0证明：Td'+/

7、?'+c‘—3ubc=(d+Z?+c)(a~++c?—cib—be—etz).•.把q+/?+c=O,a3+b3+c3=0代入上式，口J得=0,即a=0或b=0或c=0若a=0,则b=—c,:.a5+b5+c5=0若b=0或c=0,同理也有a5+/?5+c5=0说明：利用补充公式确定a,b,c的值，命题得证。彳列3.若％3+y3=27,兀2_^)，+y2=9,求兀2+y2的值。解：•/X’+)异=(x+—jq