培优专题2_运用公式法进行因式分解(含答案)

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1、2、运用公式法进行因式分解【知识精读】把乘法公式反过来，就可以得到因式分解的公式。主耍有：平方差公式a2-b2=(d+b)(d-b)完全平方公式cr±2ab+b=(a±b)立方和.立方差公式a3±/?3=(a±b)・(a?+ab+b2)补充：欧拉公式:a3+Z?3+c3-3abc=(d+b+c)(a2+/?2+c2-ab-bc-cd)二尹+方+C)[(山)2+(lC)2+(—)2]特别地：(1)当d+b+c=0时，有a?+/异+，=3abc(2)当c=()时，欧拉公式变为两数立方和公式。运用公式法分解因式的关键是要弄清各个公式的形式和特点，熟练地掌握公式。但冇时需要经过适当的组合、变形后

2、，方可使用公式。用公式法因式分解在求代数式的值，解方程、儿何综合题中也有广泛的应用。因此，正确掌握公式法因式分解，熟练灵活地运用它，对今后的学习很有帮助。下面我们就来学习用公式法进行因式分解【分类解析】1.把a2-Zb分解因式的结果是()A.(a-b)(d+2)(方+2)B.(d-b)(a+b+2)C.(a—b)(a+Z?)+2D.(a~—2b)(b~—2a)分析：a2+2a-b2-2b=tz2++1-Z?2-2/?-1=(tz+l)2-(/?+l)2e再利用平方差公式进行分解，最后得到(d-b)(a+/?+2),故选择B。说明：解这类题bl时，-•般先观察现有项的特征，通过添加项凑成符

3、合公式的形式。同时要注意分解•定要彻底。2.在简便计算、求代数式的值、解方程、判断多项式的整除等方面的应用例：己知多项式2j3-x2有一个因式是2x+l,求加的值。分析：山整式的乘法与因式分解互为逆运算，可假设另一个因式，再用待定系数法即可求出加的值。解：根据已知条件，设2x3-x2+m=(2x+l)(x2+ax+b)贝ij2x3-x2+m=2x3+(2a+l)x2+(a+2b)x+b2a+l=-l(1)由此可得｛a+2b=0(2)m=b(3)由(1)得a=-l把d=—1代入(2),得b=—2把/7=丄代入(3),得m=-223.在几何题中的应用。例：已知a、b、c是AABC的三条边，J

4、1满足a?+/?'+c?-ob-bc-dc=0,试判断ABC的形状。分析：因为题中有。2、h-ah,考虑到要用完全平方公式，首先要把-ob转成-2abo所以两边同乘以2,然后拆开搭配得完全平方公式之和为0,从而得解。解：•/a2+/?2+c2-ab-bc-ac=0・••26/2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac=0・・・(/一2"+沪)+(沪-2/?c+c2)+(c2-2心/)=0・°・(a—b)'+(b—c)~+(c—a)~=0v(a-b)2>0,(/?-c)2>0,(c-«)2>0•••a—b=0,b-c=0,c-a=09a=b=c/.ABC为等边三角形。2.在代数证明

5、题中应用例：两个连续奇数的平方差一定是8的倍数。分析：先根据己知条件把奇数表示出来，然后进行变形和讨论。解：设这两个连续奇数分别为2«+1,2〃+3(〃为整数)则(2n+3)2-(2n+l)2=(In+3+2“+l)(2n+3-2n-1)=2(4〃+4)=8(n+1)由此可见，(2斤+3)2—⑵2+I)2一定是8的倍数。5、中考点拨：例1：因式分解：x3-4xy2=o解：x3-4x)?2=x(x2-4y2)=x(x-2y)说明：因式分解时，先看有没有公因式。此题应先提取公因式，再用平方差公式分解彻底。例2：分解因式：2x3y+8x2y2+8xy3=。解：2x3y+8x2y2+8xy3=2

6、xy(x2+4x)?+4y2)=2xy(x+2y)2说明：先提取公因式，再用完全平方公式分解彻底。题型展示：例1.已知：°=丄血+1,方=丄血+2,(?=丄加+3,222求a，+2ab+b2-2ac+c2-2bc的值。解：ci~+2ab+b_—2qc+c~—2bc(d+b『-2c(a+h)+c2=(a+b-c)21…1c1•/a=—m+1,b=—m+2,c=—m+3222・•・原式=(a+b-c)?L~121lair=(—/n+1)+(—m+2)-(—m+3)_22212=—nT4说明：木题属于条件求值问题，解题时没存把条件肓接代入代数式求值，而是把代数式因式分解，变形后再把条件带入，从

7、而简化计算过程。例2.已矢［ld+b+c=O,a3+/?3+c3=0,求证:a5+b5+c5=0证明：Td'+b‘+c3一3abc=(a+/?+c)(tz2+/?2+c2-ab-be-cd)・••把a+b+c=0,ay+/?3+c3=0代入上式，nJabc=0,即67=0或b=0或c=0若a=0,则b=-c,/.a'+b'+c‘=0若b=0或c=0,同理也有/+沪+，=0说明：利用补充公式确定a,b,c的值，命题得证。(列3.若兀3