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1、2、运用公式法进行因式分解【知识精读】把乘法公式反过来，就可以得到因式分解的公式。主要有：平方差公式/一/异=(d+〃)(a—〃)完全平方公式a~±2ab+b2=(a±ft)2立方和、立方差公式a3±b3=(a±b)-(a2+ab+b2>)补充：欧拉公式：a"+〃'+c‘一3abc=(d+〃+c)(a2+h~+c2一ah-be一cu)冷a+b+c)[(a—”+(/,—c『+(c—伯特别地：(1)当a+b-^-c=0时，Ha3+/?3+c3=3abc(2)当c=0时，欧拉公式变为两数立方和公式。运用公式法分解因式的关键是要弄清各个公式的形式和特点，熟练地掌握公式。但有
2、时需要经过适当的组合、变形后，方可使用公式。用公式法因式分解在求代数式的值，解方程、几何综合题屮也有广泛的应用。因此，正确掌握公式法因式分解，熟练灵活地运用它，对今后的学习很有帮助。下面我们就来学习用公式法进行因式分解【分类解析】1.把a2+2a-b2-2b分解因式的结果是()A.(°一方)(°+2)(方+2)B.(°一方)(°+/?+2)C.(d—Z?)(d+/?)+2D.(ci~—2b)(b~—2a)分析：a2+2a-b2-2b=a2+2a+-b2-2b-I=(a+I)2再利用平方差公式进行分解，：®后得到(d-/”(d+〃+2),故选择B°说明：解这类题目时
3、，一般先观察现有项的特征，通过添加项凑成符合公式的形式。同时要注意分解一定要彻底01.在简便计算、求代数式的值、解方程、判断多项式的整除等方面的应用例：已知多项式2x3-x2有一个因式是2x4-1,求加的值。分析：由整式的乘法与因式分解互为逆运算，可假设另一个因式，再用待定系数法即可求出加的值。解：根据i_L知条件，2x'—x~+/n=(2x+l)(x24-cix+/?)贝iJ2x3-x2+m=2x3+(2a+l)x2+(a+2b)x+b2a+l=-1(1)由此可得a+2b=0(2)m=b(3)由(1)得。=-1把a=-代入(2),得b=-2把方=丄代入(3),得
4、加=丄222.在几何题中的应用。例：已知b、c是AABC的三条边，且满足+/?'+c，-db-/?c-dc=0,试判断ABC的形状。分析：因为题屮有6/2、］,、一ab,考虑到要用完全平方公式，首先要把方转成-2ab.所以两边同乘以2,然后拆开搭配得完全平方公式Z和为0,从而得解。解：a2+/?2+c2-ab-be-ac=02ci~+2b~+2c-—2ab—2bc—2tzc=0(6f2-2ab+b2)+(b2-2bc+c2)+(c2-2ac+a2)=0(ci—+(/?—c)2+(c—g)~=0v(a-Z?)2>0,(Z?-c)2>0,(c-a)2>0「•a—b=0
5、,b—c=0,c—ci=0.・.ABC为等边三角形。1.在代数证明题中应用例：两个连续奇数的平方差一定是8的倍数。分析：先根据已知条件把奇数表示出来，然示进行变形和讨论。解：设这两个连续奇数分别为2刃+1,2刃+3(/?为整数)则(2“+3)2—(2/?+1尸=+3+2/?+1)(2”+3—2“一1)=2(4/7+4)=8(/?+1)由此可见，(2/7+3)2-(277+1)2—定是8的倍数。5、中考点拨：例1：因式分解：/一4小2=o解:x3_4乙=x(x2_4y2)=x(x+2y)(兀_2y)说明：因式分解时，先看有没有公因式。此题应先提取公因式，再用平方差公
6、式分解彻底。例2：分解因式：2x3y+8x2y2+8^3=。解：+8%2>,24-8xy3=2xy(x~+4可，+4y?)=2xy^(x+2y)2说明：先提取公因式，再川完全平方公式分解彻底。题型展示：例1.已知:a=—m+1,b=—m+2,c=—m+3,222求+2ab+—2ac+c~—2bc的值。解：+2ab+b~—2,cic+c~—2bc=(a+b)2一2c(a+b)+c2=(a+b_c)21…1c1a=—m+b-—m+2,c=—m+3222.•.原式=(a+b-c)2=(丄加+1)+(丄加+2)—(丄/n+3)说明：木题属于条件求值问题，解题时没有把条件玄接
7、代入代数式求值，而是把代数式因式分解，变形后再把条件带入，从而简化计算过稈。例2.已矢Hd+/?+c=O,a34-/?3+c3=0,求证：小+戸+云=0证明：o'+Z?'+c3一3cibc=(a+b+c)(a2+h2+c2-ah-be-ca)扌巴a+Z?+c=0,a3+/?3+c3=0代入上式，可得abc-0,即a=0或b=0或c=0若a=0,则b=—c,/.a'+/?'+c5=0若h=0或c=0,同理也有tz5+/?5+c5=O说明：利用补充公式确定a,b,c的值，命题得证。例3.若X3+y3=27,a2-xy+y2=9,求十+y?的值。解：•・•x3+)‘3
