例谈矩阵的合同变换法

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1、2009年9月扬州教育学院学报Sept．2009第27卷第3期JournalofYangzhouCollegeofEducationVol_27．No．3例谈矩阵的合同变换法许乃武(扬州职业大学，江苏扬州225009)摘要：借助矩阵的合同变换法，给出了化实二次型为标准形的方法、求标准正交基的方法，并给出了正定二次型判定定理的新证明。关键词：合同变换法；二次型的标准形；标准正交基；正定二次型中图分类号：0151．21文献标识码：A文章编号：1008—6536(2009)03—0001—04对矩阵施行一次初等行变换，又对A施行一次相应的初等列变换，则称对矩阵A施行了一次成对的初等变换或一次初

2、等合同变换。矩阵的合同变换是“线性代数”课程中非常重要的概念，也是解决线性代数有关问题的重要方法。本文介绍了矩阵的合同变换法在化实二次型为标准形、求标准正交基等问题中的应用。[]一、用合同变换法化二次型为标准形定理1若在对称矩阵A的右边并上一个单位矩阵随A作初等行变换，则在对矩阵4施行一系列的初等合同变换化为对角阵时，所并单位矩阵E必化为A的合同变换矩阵的转置矩阵。证明一个秩为r的n阶实对称矩阵，总存在n阶可逆矩阵P，使得PP=diag(。1，。2，⋯，c，0，⋯，0)=A其中r=秩(A)，c】，c2，⋯，c≠0．这时，矩阵A合同于对角阵A．L，j因可逆矩阵P可以表示为若干个初等矩阵P】

3、，⋯，P的乘积，即P=P1⋯P．则有PP=(P’⋯(P(P尸1)P2)⋯P)=A；P=(Pl⋯P)E=(Pr⋯P)．根据初等矩阵的性质以及初等矩阵与初等变换的关系，以上式子表明，对矩阵A施行了t次初等合同变换化为对角阵以，单位矩阵仅进行了t次相应的初等行变换化为P，即(AE)(APT)．由定理1得出用合同变换法化二次型为标准形的具体方法：(1)写出二次型的矩阵A；(2)作(AE)(APT出pT；(3)作非退化的线性替换X=PY，将二次型化为标准形．例1求非退化的线性替换X=PY，将二次型f(l，2，3)=2x12+213—6x23化为标准形．r，01]解-厂(1，2，3)的矩阵是=l10

4、—3}因为】一30／收稿日期：2009—06—28作者简介：许乃武(1963一)，男，扬州职业大学数学系副教授。1』100于—3J010是0l001取]PT，21—2=l10—3，，．．．．．．．．．．．．L一f一2—30一2r21一2{110、第1行的(一1／2)加到第2行f0—1／2一2j—l／21／20j第1行加到第3行10—2一2J11lj200J110、第1列的(一1／2)加到第2列得l0～1／2～2【一1／21／20l第1列加到第3列=l0—2～2f11lj／0l110、第2行的(一4)倍加到第3行l1020—1／2一2f一1／21／20f一2一～2Do100623一l1J0

5、f110]3．1第2列的(一4)倍加到第3列f120、、●●●h●●●J0～1／20j一1／21／20J＼006l3—11J怍1O退比的0线—11替换=Pl，，则二次型的标准形为：l厂(1，2，3)=2y一1y2+6y；．勾二、用合同变换法求标准正交基设s1，s2，⋯，是rt维Euclid空间的一组基，且满足c占，，=6：{l0’，则称sl，s2，⋯，8是n维Euclid空间的一组标准正交基．为了给出用合同变换法求标准正交基的方法，先证明下列定理．定理2设Ol1，012，⋯，是n维Euclid空间的一组基，它的度量矩阵为=(。)，其中。=(Ol，)，则有(1)存在n阶可逆矩阵P，使得PA

6、P=E；(2)令(卢1，卢2，⋯，卢)=(1，Ol2，⋯，Ol)尸，则-，，⋯，卢是的一组标准正交基．证明(1)由于度量矩阵A=(Ct)是正定矩阵，而正定矩阵与单位矩阵合同即存在可逆矩阵P=(P，)，使得PAP：E．(2)令(31，』B2，⋯，卢)=(O1．1，Ol2，⋯，Ot)P，因P可逆且Otl，OL2，⋯，是基，则卢1，卢2，⋯，也是的一组基．由于JB=PliOllP2ia2+⋯+Phio~n；卢=Pljal+PzjO~2+⋯+Pnja，从而(卢，)=(，∑p。z)p(O~k,Ot1)p6ij／=1故1，2，⋯，卢是的一组标准正交基．由定理2得出求基Ol，2，⋯，的标准正交基法的具

7、体方法：(1)先求基Ol1，Ol2，⋯，的度量矩阵为A；·2·，A第一第2—2(2)E)(EP、T)黜P；行一列=×一×(3)令(卢1，卢2，⋯，卢)=(l，OL2，，⋯，．。．，．。O．。L。。．．．。)P，则卢1，卢2，⋯，是的一组标准正交基．900l一一例2在R中，用合同变换法将基Ol1=(1，2，一2)，Og2=(2，一1，0)T，3=(一2，0，一1)T05．化为标准正交基．4r900、05解基Ogl，Ol2，Og3的度量