5.5.2 塑性位势理论和理想塑性材料的增量本构关系_简洁版

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1、使用教材:《材料固体力学》上册周益春编著科学出版社5.5.2塑性位势理论和理想塑性材料的增量本构关系在5.4中已提到,在一般塑性变形条件下,我们只能建立应力与应变在增量之间的关系(本构方程),这种用增量形式表示的本构关系。一般统称为增量理论或流动理论。首先将应变增量分成弹性应变增量与塑性应变增量两部分,即=+(5.74)其中与之间满足广义Hooke定律=−=−(5.75)下面我们将主要精力都放在建立的公式上面。1.塑性位势理论早先人们不了解与加载面之间的关系,1928年时,Mises类比了弹性应变增量可以用弹性位势(应变余能)函数对应力微分的表达式=,提出了塑性位势的概念。其数学形式

2、是=(5.76)此处是塑性位势函数,而上述公式称为塑性位势理论。有了Drucker公设以后,则在该公设成立的条件下,由(5.72)式必然得出=,一般将=的塑性本构关系称为与加载条件相关连的流动法则,而称之为塑性流动因子。下面我们先讨论上式的理想塑性材料情况,这时的就是屈服条件。若是光滑屈服面,则有==0<0弹性;=0,<0卸载其中:(5.77)≥0=0,=0加载对于由n个光滑屈服面构成的非正则加载面,将有1/9Email:onexf@xtu.edu.cn使用教材:《材料固体力学》上册周益春编著科学出版社==0<0弹性;=0,<0卸载k=1,2,…,n(5.77)其中:≥0=0,=0加

3、载上式说明在几个屈服面的交点处,塑性应变增量是各有关面上塑性应变增量的线性组合。2/9Email:onexf@xtu.edu.cn使用教材:《材料固体力学》上册周益春编著科学出版社2.与Mises屈服条件相关连的流动法则2.1Prandtl-Reuss关系式(弹塑性模型):若初始屈服面为Mises屈服条件=′−=0代入(5.77)式′===0′<弹性;′=,′<0卸载其中:(5.79)≥0′=,′=0加载′注:这里的=推导如下:1′=[(−)+(−)+(−)]+++6′111=[2(−)+2(−)]=(2−−)=(3−3)=633′==加上弹性应变增量,得′偏量部分:=+球形部分:=

4、=0′<弹性;′=,′<0卸载其中:(5.80)≥0′=,′=0加载这里′是应变偏量张量的分量,上式称为普朗特尔-劳埃斯(Prandtl-Reuss)关系。式中′只有五个是独立的,因此要加上的一个方程,增加的要联系屈服条件来解(见下面确定的方法)。注:上式(5.80)的推导如下:1=+=−+21−2=+−+=+−+=++2226231−2=++23/9Email:onexf@xtu.edu.cn使用教材:《材料固体力学》上册周益春编著科学出版社′其中:=;=。由于=+,即()()1′=+21−2=1′=+21−21−2=3=3==确定P-R关系(已知与,求dλ):通过分析(5.80)

5、式可以发现,其中一共有4类物理量:1当前应力状态(包括和)2使当前应力发生变化的增量(包括和)3′使当前应力发生变化的增量(包括和)4塑性流动因子当给定了1和2类量(即′与)后,还是定不出来的,因而也定不出来;但反过来,如给定1和3类量(与),则可以求出。解法如下:若与(即与′)已知,塑性畸变能比率即可求′′′==+=+=(5.81)′可得,==其中利用理想塑性材料的屈服条件:′=,即′=0。因此,当与给定后,则和′确定,由(5.81)确定,再由(5.80)可以求出。4/9Email:onexf@xtu.edu.cn使用教材:《材料固体力学》上册周益春编著科学出版社2.2Levy-M

6、ises关系式(刚塑性模型):如果塑性应变增量比弹性应变增量大得多时,则可以将弹性应变增量略去,得(注′意塑性应变增量只有偏量部分=,没球形部分!)′=′+′==上式还可写成======(5.82)上式称为列维-米塞(Levy-Mises)关系,它表示应变增量和应力偏量成比例。在历史上是先有Levy-Mises关系式,以后才建立Prandtl-Reuss关系式的。确定L-M关系(1)已知dε,求:对于L-M关系,只有2类物理量(和,而可已知也可未知)。在给定后不能确定,但反之却可以由确定。由屈服条件′111=2=2()=得用等效应力/应变和有效应力的表示形式:1√3===√222==

7、=(5.83)因此,我们可以通过简单拉伸来确定等效剪应变率(d),或简单拉伸来确定等效应变率(d),从而得到。′′′′注:由===,及=,得应力强度(有效应力)、剪应力√强度(有效剪应力)、应变强度̅(等效应变)和剪应变强度(等效剪应变)5/9Email:onexf@xtu.edu.cn使用教材:《材料固体力学》上册周益春编著科学出版社⎧=3′==[(−)+(−)+(−)]⎪⎪′⎪===[(−)+(−)+(−)]⎨̅=′=′′=[(−)+(−)+(−)]⎪

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