塑性力学-塑性本构关系

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1、第三章塑性本构关系全量和增量理论•全量理论（形变理论）：在塑性状态下仍有应力和应变之间的关系。Il’yushin(伊柳辛)理论。•增量理论（流动理论）：在塑性状态下是塑性应变增量和应力及应力增量之间的关系。Levy-Mises理论和Prandtl-Reuss理论。广义Hooke定律1ε=+−⎡()1νσνδσ⎤ij⎣ijijkk⎦E12−ν1球量和偏量：εσ==eSiiiiijijEG2°应变偏量的分量和相应的应力偏量分量成比例°弹性范围内应力主轴和应变主轴一致°弹性范围内，应变偏量和应力偏量另一种形式3εieS=

2、=σ3Gεijijii2σi全量理论Il’yushin(伊柳辛,1943)：关于硬化材料的弹塑性小变形本构关系3(1−2ν)•体积变化是弹性的θ=σ0Ep'p'3ε•塑性应变与应力偏量平行e=ψSiijijψ=2σip•应力强度是塑性应变强度的确定函数σ=H(ε)ii全量理论3(1−2ν)•体积变化是弹性的θ=σ0E•应变偏量与应力偏量成比例e=ψSijij–应力和应变的定性关系（方向和分配）–形式上和广义Hooke定律相似3εiψ=–非线性2σi•应力强度是应变强度的确定函数σ=Φ(ε)iiIl’yushin全量

3、型塑性本构方程全量型塑性本构方程为3ε3(1−2ν)ieS=σ=Φ(ε)θ=σijijii02σEip3(1−2ν)3εppiθ=σ0e=Sσ=H(ε)Eijijii2σi1311形式一：ε=[(1+ν)σ−νσδ]+(−)SijijijkkijE2E3Gc其中：σi割线模量E=cεiσ=Φ(ε)ii∑弹性情况下，退化成广义Hooke定律∑单一曲线假设，单向拉伸或简单剪切曲线确定p13ε形式二：[]iε=(1+ν)σ−νσδ+SijijijkkijE2σip其中：σ=H(ε)ii比较得到：pε1εiip−=σ=3G

4、(ε−ε)iiiσ3Gσii∑物理意义：实际应力增量等于弹性应力增量减去塑性应力增量∑材料未进入塑性，塑性变形为零，退化成广义Hooke定律例题一、线性硬化材料的薄壁管受拉扭载荷的变形(轴向拉伸、剪切)ττ0.1GA2τsτsGOOγγsτσsτσστ一、单一曲线假设σi=Φ(εi)ε110τis=(−33)σG3σii二、所求的(A点)应力状态σ=13τis三、求应变(A点)γs3183ε11=+3(1−)γsγ12=20γs−γs2(1+ν)1313四、讨论不为零的应变分量？塑性范围内，剪应力引起正应变？？如果

5、完全卸载，这部分由剪应力引起的正应变是否恢复?例题二、线性硬化材料的薄壁圆管，在拉扭载荷下，求管的总轴向应变ε和切向应变γzθzzPσθT−1tgFxσsσzτθzσzτopθzεσSCBT3PAoσSσz拉扭同时，并保持比例OBp一、单一曲线假设σ=H(ε)iipε1σis=(1−)σFσii二、所求的应力状态σ=2σis三、求应变⎡111⎤σ⎡131⎤=+(1−)sεzσsγ=+(1−)⎢⎥zθ⎢⎥⎣EF2⎦3⎣GF2⎦3-4全量理论的基本方程及边值问题的提法Sp:σi平衡方程VFiσijj,+=Fi0z几何方

6、程y1Oεij=+()uuij.,ji2xSu:ui本构方程1311ε=[](1+ν)σ−νσδ+(−)SijijijkkijE2E3Gcσ32i其中E=σ==SSεeeσi=Φ(εi)ciijijiijij23εi边界条件Slp:,σ=S:uu=σijjiuii和弹性理论相似：¾本构方程是非线性的¾界面连续条件°弹、塑性区°加载、卸载区全量理论一个不适当的例子BCAOΣ后继屈服面1初始屈服面Σ03-5全量理论的适用范围简单加载定律适用范围：变形：小变形加载：简单加载简单加载：物体内每一点应力的各个应力分量，在加载

7、过程中成比例增长0σij=ασ(t)ij0σ非零的参考应力状态ijα(t)随着加载单调增长加载时物体内应力和应变特点：°应力和应变的主方向都保持不变°应力和应变的主分量成比例增长°应力Lode参数和应力Lode角保持常数°应力点的轨迹在应力空间是直线小变形前提下，判断简单加载的条件：°荷载按比例增长（包括体力）；零位移边界°材料不可压缩°应力强度和应变强度幂函数关系mσ=Aεii实际应用：满足荷载比例增长和零位移边界条件3-6卸载定律卸载：按照单一曲线假设，应力强度减小•外载荷减小，应力水平降低•塑性变形发展，应力

8、重分布，局部应力强度降低ß简单卸载定律：•各点的应力分量按比例减少•不发生新的塑性变形¾以卸载时的荷载改变量为假想荷载，按弹性计算得到应力和应变的改变量¾卸载前的应力和应变减去卸载过程中的改变量σ卸载前的应力和应变Aσ!ε!σ′卸载过程中的应力应变改变量σ!Bσσ′ε′oεpeεεσ′′=Eεεε′卸载后的应力和应变ε!σ=−σσ!′,εεε=−!′p∑在卸