5.5.2 塑性位势理论和理想塑性材料的增量本构关系_简洁版

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1、使用教材：《材料固体力学》上册周益春编著科学出版社5.5.2塑性位势理论和理想塑性材料的增量本构关系在5.4中已提到，在一般塑性变形条件下，我们只能建立应力与应变在增量之间的关系（本构方程），这种用增量形式表示的本构关系。一般统称为增量理论或流动理论。首先将应变增量分成弹性应变增量与塑性应变增量两部分，即=+(5.74)其中与之间满足广义Hooke定律=−=−(5.75)下面我们将主要精力都放在建立的公式上面。1.塑性位势理论早先人们不了解与加载面之间的关系，1928年时，Mises类比了弹性应变增量可以用弹性位势（应变余能）函数对应力微分的表达式=，提出了塑性位势的概念。其数学形式

2、是=(5.76)此处是塑性位势函数，而上述公式称为塑性位势理论。有了Drucker公设以后，则在该公设成立的条件下，由（5.72）式必然得出=，一般将=的塑性本构关系称为与加载条件相关连的流动法则，而称之为塑性流动因子。下面我们先讨论上式的理想塑性材料情况，这时的就是屈服条件。若是光滑屈服面，则有==0<0弹性；=0,<0卸载其中：(5.77)≥0=0,=0加载对于由n个光滑屈服面构成的非正则加载面，将有1/9Email:onexf@xtu.edu.cn使用教材：《材料固体力学》上册周益春编著科学出版社==0<0弹性；=0,<0卸载k=1,2,…,n(5.77)其中：≥0=0,=0加

3、载上式说明在几个屈服面的交点处，塑性应变增量是各有关面上塑性应变增量的线性组合。2/9Email:onexf@xtu.edu.cn使用教材：《材料固体力学》上册周益春编著科学出版社2.与Mises屈服条件相关连的流动法则2.1Prandtl-Reuss关系式（弹塑性模型）:若初始屈服面为Mises屈服条件=′−=0代入(5.77)式′===0′<弹性；′=,′<0卸载其中：(5.79)≥0′=,′=0加载′注：这里的=推导如下：1′=[(−)+(−)+(−)]+++6′111=[2(−)+2(−)]=(2−−)=(3−3)=633′==加上弹性应变增量，得′偏量部分：=+球形部分：=

4、=0′<弹性；′=,′<0卸载其中：(5.80)≥0′=,′=0加载这里′是应变偏量张量的分量，上式称为普朗特尔-劳埃斯(Prandtl-Reuss)关系。式中′只有五个是独立的，因此要加上的一个方程，增加的要联系屈服条件来解（见下面确定的方法）。注：上式(5.80)的推导如下：1=+=−+21−2=+−+=+−+=++2226231−2=++23/9Email:onexf@xtu.edu.cn使用教材：《材料固体力学》上册周益春编著科学出版社′其中：=；=。由于=+，即()()1′=+21−2=1′=+21−21−2=3=3==确定P-R关系（已知与，求dλ）：通过分析(5.80)

5、式可以发现，其中一共有4类物理量：1当前应力状态（包括和）2使当前应力发生变化的增量（包括和）3′使当前应力发生变化的增量（包括和）4塑性流动因子当给定了1和2类量（即′与）后，还是定不出来的，因而也定不出来；但反过来，如给定1和3类量（与），则可以求出。解法如下：若与（即与′）已知，塑性畸变能比率即可求′′′==+=+=(5.81)′可得，==其中利用理想塑性材料的屈服条件：′=，即′=0。因此，当与给定后，则和′确定，由(5.81)确定，再由(5.80)可以求出。4/9Email:onexf@xtu.edu.cn使用教材：《材料固体力学》上册周益春编著科学出版社2.2Levy-M

6、ises关系式（刚塑性模型）:如果塑性应变增量比弹性应变增量大得多时，则可以将弹性应变增量略去，得（注′意塑性应变增量只有偏量部分=，没球形部分！）′=′+′==上式还可写成======(5.82)上式称为列维-米塞(Levy-Mises)关系，它表示应变增量和应力偏量成比例。在历史上是先有Levy-Mises关系式，以后才建立Prandtl-Reuss关系式的。确定L-M关系（1）已知dε，求：对于L-M关系，只有2类物理量（和，而可已知也可未知）。在给定后不能确定，但反之却可以由确定。由屈服条件′111=2=2()=得用等效应力/应变和有效应力的表示形式：1√3===√222==

7、=(5.83)因此，我们可以通过简单拉伸来确定等效剪应变率（d），或简单拉伸来确定等效应变率（d），从而得到。′′′′注：由===，及=，得应力强度（有效应力）、剪应力√强度（有效剪应力）、应变强度̅（等效应变）和剪应变强度（等效剪应变）5/9Email:onexf@xtu.edu.cn使用教材：《材料固体力学》上册周益春编著科学出版社⎧=3′==[(−)+(−)+(−)]⎪⎪′⎪===[(−)+(−)+(−)]⎨̅=′=′′=[(−)+(−)+(−)]⎪