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1、不变子群判别条件摘要：不变子群是一类重要的子群，它在群的理论中起着重要的作用.判断一个子群是否不变子群，除了应用定义外，也可以应用其判别条件，本文在就对这些判别条件进行归纳，同时证明诸判别条件的等价性并给出一些应用.关键词：不变子群，陪集，共轭，正规化子，同余关系1.判断一个子群为不变子群的条件.1.1．与定义等价的判别条件1.HG，即a∈G,有aH=Ha2.a∈G,有aHa=H3.a∈G,有aHaH4.a∈G,h∈H,有aha∈H5.a∈G,有aHHa6.a∈G,有HaHa7.aHbH=abH,a,b∈G即两个左陪集的乘积仍是左陪集
2、8.H在G中的每个左陪集都是一个右陪集9.a∈G,有aHa=H10.a∈G,有aHaH11.a∈G,h∈H,有aha∈H12.a∈G,有HaaH13.a∈G,有HaHa14.HaHb=Hab,a,b∈G即两个右陪集的乘积仍是右陪集615.H在G中的每个右陪集都是一个左陪集16.以群G之子集H为模的G之剩余类（即陪集）之集合关于陪集之积运算构成群.（即商群存在）17.H是G的子群，则G中由aRb,当ab∈H，所定义的关系R为同余关系18.N(H)=G19.若n∈N，则所属的G的共轭元素C(n)H。即H由G的若干整个的共轭类组成。1.2.
3、直接判断一个子群为不变子群的条件1．指数为2的子群为不变子群.证明:设群G，H是G的子群，由题设[G:H]=2∴G=eH∪aH=He∪HaaH=Haa∈G,即HG2．设G为群，H是G的子群,a∈G,ahaH,则H是G的不变子群.证明:ahaHa(aHa)aaHaHaHa又(a)HaH即aHaH∴a∈G,aHa=HaH=Haa∈G即HG3.群G的中心C是G的一个不变子群.证明:∵C与G中的每个元素都可交换∴对a∈G,有aC=Ca∴CG4.交换群的子群都是不变子群.证明:设G是交换群,H是G的子群,有aH={ah︱h∈H}={ha︱h∈H
4、}=Haa∈G∴HG5.设A,B都是G的不变子群，则A∩B是G的不变子群.证明:显然A∩B是G的子群,a∈G,x∈A∩B,axa∈A,axa∈B6∴axa∈A∩B即A∩BG推论1:群G中任意多个（有限或无限）不变子群之交也都是G的不变子群.6.设A,B都是G的不变子群，则AB是G的不变子群.证明:显然AB是G的子群,g∈G,x∈AB,设x=abgxg=g(ab)g=gaggbg∈AB故ABG推论2:群G中任意多个（有限或无限）不变子群之积也都是G的不变子群.7.设H是G的真子群，︱H︱=n,且G的阶数为n的子群仅有一个，则H是G的不变
5、子群.证明:x∈G显然xHx是H的子群,又知f：h→xhxh∈H,f是H到xHx的双射,故︱xHx︱=︱H︱=n,由唯一性,xHx=Hx∈G因而H的G不变子群.8.设A,B,H都是G的不变子群,且AB，则AH是BH的不变子群.证明：AH,BH显然都是G的不变子群，∵AB，∴AHBH而AH是G的不变子群，故AH是BH的不变子群.2.举例应用判别条件2.1判断一个子群是不是不变子群，除了用定义外，还可用其等价条件，例1：设G={︱r,s∈Qr≠0},G对于方阵乘法作成一个群,H={︱t∈Q},则H是G的不变子群.证明：法1（利用定义）：6
6、∈G,H=,H=r≠0r,s是取定的有理数,故对s+t,方程rx+s=s+t在Q中有解,即x=t/r故对A∈HA=A=A∈H即HH,反之,对rt+s方程rt+s=x+s在Q中有解x=rt故HH从而有H=Hr≠0r,s∈Q即H是G的不变子群.法2：（利用等价条件4）：∈G,=∈G,对∈H有==显然∈H,故H是G的不变子群.例2：设G是一个群，a,b∈G符号[ab]表示G中元素abab，称之为G的换位元,证明G的一切有限换位元的乘积所成的集合G6是G的一个不变子群.证明：（利用等价条件4）：显然，G是G的子群，对任意[ab]和g∈Gg[a
7、b]g=gababg=(ag)bagbbgbg=[agb][bg]∈G一般地，对G中任一元[ab][ab]…[ab]有g[ab][ab]…[ab]g=(g[ab]g)(g[ab]g)…(g[ab]g)∈G,故gGg∈G即G是G的不变子群.注释：1.∵A≤GB≤G又e∈Ae∈B∴e∈A∩B≠,设a,b∈A∩B则a,b∈A且a,b∈B故ab∈A且ab∈B∴ab∈A∩B设a∈A∩B,则a∈A且a∈B∴a∈A且a∈B∴a∈A∩B∴A∩B≤G即A∩B是G的子群2.AB={ab︱a∈A,b∈B}∵AG∴bA=Ab又∵ba∈bA∴ba=ab,a∈A
8、(ab)(ab)=a(ba)b=a(ab)b=(aa)(bb)∈AB又ba∈bA=Ab∴=ba=ab∈AB∴AB≤G即AB是G的子群参考文献：[1]吴三品，近世代数[M]，北京：人民教育出版社，1982，80-87.[2
