山东省聊城市2018-2019学年高二（上）期中数学试卷（解析版）

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2018-2019学年山东省聊城市高二（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共50.0分）1.在△ABC中，命题p：“B=60°”，命题q：“△ABC的个内角A、B、C成等差数列”那么p是q的（　　）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件2.已知不等式ax2+5x+b＞0的解集是{x|2＜x＜3}，则不等式bx2-x-a＞0的解集是（　　）A.{x|-1212}C.{x|x<-3或x>-2}D.{x|-3(1-b)aB.(1-b)a>(1-b)a2C.(1+b)b>(1+a)aD.(1-b)b>(1-a)a7.设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S5=40，S9=126，则S13=（　　）A.260B.84C.230D.668.已知△ABC的顶点B、C在椭圆x28+y2=1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是（　　） A.23B.6C.43D.821.已知函数y=loga（x+2）-1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+4=0上，其中m＞0，n＞0，则4m+1n的最小值是（　　）A.9B.4C.92D.942.已知经过椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，若斜率为1的直线经过椭圆的右焦点，并且椭圆交于A、B两点，且AF2=2F2B，则该椭圆的离心率为（　　）A.23B.22C.33D.32二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）3.已知条件p：x≤1，条件q：x2-x＞0，则￢p是q的______．4.设x＞3，则函数x+8x-3的最小值是______．5.等比数列{an}的各项均为正数，且a2a6=9，则log3a1+log3a2+…+log3a7的值为______．6.若椭圆圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，并且短轴的一个端点为P，直线l：x-2y=0交椭圆于A，B两点，若|AF2|+|BF2|=2，点P到直线l的距离不小于55，则椭圆离心率的取值范围是______．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）7.已知命题p：实数m满足m2+12a2＜7am（a＞0），命题q：实数m满足方程x2m-1+y24-m=1表示的焦点在y轴上的椭园，且p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．8.求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）以（0，12）和（0，-12）为焦点，且椭圆上一点p到两焦点的距离之和为26；（2）以椭圆7x2+3y2=21的焦点为焦点，且经过M（2，6）． 1.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=2n+1-2．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设∁n=（2n+1）an，求数列{∁n}的前n项和Tn．2.已知二次函数f（x）=ax2+bx+c，且不等式f（x）＜2x的解集为（1，3），对任意的x∈R都有f（x）≥2恒成立．（1）求f（x）的解析式；（2）若不等式kf（2x）-2x+1≤0在x∈[1，2]上有解，求实数k的取值范围．3.已知椭圆C：y2a2+x2b2=1(a＞b＞0)的离心率为32，椭圆C过点(12，3)．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点P（0，m）作圆x2+y2=1的切线l交椭圆C于A，B两点，记△AOB（O为坐标原点）的面积为S△AOB，将S△AOB表示为m的函数，并求S△AOB的最大值． 答案和解析1.【答案】C【解析】解：在△ABC中，若三内角A、B、C成等差数列；则A+C=2B，又由A+B+C=180°，故B=60°即q⇒p为真反之，当故B=60°，由A+B+C=180°，得A+C=120°=2B，即三内角A、B、C成等差数列故p⇒q也为真故p是q的充分必要条件故选：C．先判断p⇒q与q⇒p的真假，再根据充要条件的定义给出结论；也可判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．2.【答案】A【解析】解：不等式ax2+5x+b＞0的解集是{x|2＜x＜3}，∴方程ax2+5x+b=0的实数根为2和3，∴，解得a=-1，b=-6；∴不等式bx2-x-a＞0为-6x2-x+1＞0，即6x2+x-1＜0，解得-＜x＜；∴不等式bx2-x-a＞0的解集是{x|-＜x＜}．故选：A．根据不等式ax2+5x+b＞0的解集求得a和b的值，再代入求不等式bx2-x-a＞0的解集．本题考查了不等式的解集与应用问题，也考查了不等式与对应方程的应用问题，是基础题． 3.【答案】C【解析】解：设等比数列{an}的公比为q，∵a1=2，且a9是a7与a11的等差中项，∴2a9=a7+a11，可得2a9=+a9q2，可得：q4-2q2+1=0，解得q2=1．解得q=±1．则a2018=2×（±1）2017=±2．故选：C．设等比数列{an}的公比为q，根据a1=2，且a9是a7与a11的等差中项，可得2a9=a7+a11，可得2a9=+a9q2，解得q．再利用通项公式即可得出．本题考查了等差数列与等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4.【答案】A【解析】解：f（x）=（x+1）ex，命题p：∃x0∈（0，），f（x0）＜0，则p是假命题，￢P：∀x∈（0，），f（x）≥0，故选：A．根据特称命题的否定方法，根据已知中的原命题，写出其否定形式，可得答案．本题考查的知识点是全称命题，命题的否定，熟练掌握全（特）称命题的否定方法是解答的关键．5.【答案】B【解析】解：设公差d不为0的等差数列{an}满足a32=a1•a4，∴=a1（a1+3d），化为：a1=-4d≠0．则====-3．故选：B．设公差d不为0的等差数列{an}满足a32=a1•a4，可得=a1（a1+3d），化为：a1=-4d≠0．代入==，化简即可得出．本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6.【答案】D【解析】解：由于a，b是（0，1）内的两个实数，所以：1-a＞1-b＞0， 利用指数函数的性质y=ax（0＜a＜1）单调递减，由于a＞b，所以：，，故：A、B、C错误故：指数越大对应的函数值越小．故：（1-b）b＞（1-a）a．故选：D．直接利用指数函数的性质，单调性的应用求出结果．本题考查的知识要点：指数函数的性质单调性的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．7.【答案】A【解析】解：设等差数列{an}的公差为d，则5a1+d=40，9a1+d=126，联立解得a1=2，d=3，∴S13=13×2+=260．故选：A．利用等差数列的求和公式即可得出．本题考查了等差数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8.【答案】D【解析】解：由椭圆+y2=1，可知焦点在x轴，a=，b=1，c=，由椭圆的定义椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a，可得△ABC的周长为4a=，故选：D．由椭圆的定义椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a，可得△ABC的周长．本题主要考查数形结合的思想和椭圆的基本性质，解题的关键是利用椭圆的第一定义，属于基础题．9.【答案】D【解析】解：∵函数y=loga（x+2）-1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点（-1，-1），∴将点（-1，-1）代入mx+ny+4=0，得m+n=4，∵m＞0，n＞0， 则+=（m+n）（）==当且仅当且m+n=4即n=时取得最小值．故选：D．利用函数y=loga（x+2）-1（a＞0，a≠1）的解析式得出所过定点，再将定点坐标代入直线方程mx+ny+4=0，最后利用乘1法和基本不等式可求本题考查了对数函数的性质，考查了基本不等式的运用，属于中档题．10.【答案】A【解析】解：由=2，分别过A，B作准线l的垂线，垂足分别为A1，B1，过B作BD⊥AA1，设|AF2|=2m，则|BF2|=m，B到准线的距离d2，A到准线的距离为d1，由椭圆的第二定义可知：，e为椭圆的离心率，则d1=，d2=，直线AB的斜率为1，则∠BAD=，∴|AD|=，∴d1+|AD|=d2，则，得e=，故选：A．由题意画出图形，设B到准线的距离d2，A到准线的距离为d1，利用椭圆的第二定义，结合解三角形可得d1+|AD|=d2，由此可求得椭圆的离心率．本题考查椭圆的性质的应用，考查数形结合的解题思想方法，属于中档题．11.【答案】充分不必要条件【解析】解：由x2-x＞0，解得：x＜0或x＞1，记命题q：B=（-∞，0）∪（1，+∞），由p：x≤1，则命题￢p：x＞1，记命题￢p：A=（1，+∞），由A⊊B，所以￢p是q的充分不必要条件，故答案为：充分不必要条件 解二次不等式x2-x＞0，可得命题q：B=（-∞，0）∪（1，+∞），由命题的否定可得：命题￢p：A=（1，+∞），由集合间的关系得：A⊊B，所以￢p是q的充分不必要条件．本题考查了二次不等式的解法，充分条件，必要条件，充要条件，属简单题．12.【答案】42+3【解析】解：∵x＞3，∴x+=（x-3）++3≥2+3=，当且仅当（x-3）=时，等号成立，故答案为．根据x+=（x-3）++3，利用基本不等式求出它的最小值．本题考查基本不等式的应用，注意检验等号成立的条件，式子的变形是解题的关键．13.【答案】7【解析】解：根据题意，等比数列{an}中，若a2a6=9，则a1a7=a2a6=a3a5=a42=9=32，则log3a1+log3a2+…+log3a7=log3（a1a2a3a4a5a6a7）=log337=7，故答案为：7根据题意，由等比数列的性质可得a1a7=a2a6=a3a5=a42=9=32，进而由对数的运算性质可得log3a1+log3a2+…+log3a7=log3（a1a2a3a4a5a6a7）=log337，变形可得答案．本题考查等比数列的性质，涉及对数的运算性质，注意利用等比数列的性质进行分析，属于基础题．14.【答案】（0，32]【解析】解：直线l：x+2y=0交椭圆于A，B两点，∵|AF2|+|BF2|=2，∴2a=2，解得a=1．取P（0，b）．∵点P到直线l的距离不小于，∴≥，解得b≥．∴1＞b≥．e==∈（0，]． 则椭圆离心率的取值范围是（0，]．故答案为：（0，]．直线l：x-2y=0交椭圆于A，B两点，由已知可得2a=2，得a=1．取P（0，b）根据点P到直线l的距离不小于，可得：b≥，则1＞b≥，即可得出e的取值范围．本题考查了椭圆的标准方程及其离心率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15.【答案】解：由m2+12a2＜7am（a＞0），解得；3a＜x＜4a，即命题p：A=（3a，4a），由x2m-1+y24-m=1表示的焦点在y轴上的椭园，得4-m＞m-1＞0解得；1＜m＜52，即命题q：B=（1，52），由p是q的充分不必要条件，则A⊊B，即3a≥14a≤52，解得；13≤a≤58，即实数a的取值范围为：13≤a≤58，故答案为：[13，58]．【解析】解二次不等式m2+12a2＜7am（a＞0），得命题p：A=（3a，4a），由椭圆的性质得B=（1，），由p是q的充分不必要条件，则A⊊B，即，求解即可本题考查了二次不等式的解法，椭圆的性质及充分必要条件，属简单题16.【答案】解：（1）∵椭圆的焦点在y轴上，∴设其方程为y2a2+x2b2=1(a＞b＞0)，∵2a=26，∴a=13，又c=12，则b2=a2-c2=25．∴所求椭圆方程为y2169+x225=1；（2）由7x2+3y2=21，得x23+y27=1．可得c2=a2-b2=4，即c=2．∴所求椭圆焦点为（ 0，-2），（0，2），设椭圆方程为y2a2+x2b2=1(a＞b＞0)，由M（2，6）在椭圆上，则2a=(2-0)2+(6-2)2+(2-0)2+(6+2)2=43．∴a=23，则b2=a2-c2=8．∴所求椭圆方程为y212+x28=1．【解析】（1）由题意可设椭圆方程为，并求得a，c的值，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求；（2）化椭圆方程为标准方程，求出焦点坐标，再由定义求得椭圆长半轴长，进一步得到b，则答案可求．本题考查椭圆的简单性质，训练了利用定义法求椭圆的标准方程，是中档题．17.【答案】解：（1）Sn=2n+1-2，可得n=1时，a1=S1=4-2=2，n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n+1-2-2n+2=2n，上式对n=1也成立，则数列{an}的通项公式为an=2n，n∈N*；（2）∁n=（2n+1）an=（2n+1）•2n，前n项和Tn=3•2+5•22+7•23+…+（2n+1）•2n，2Tn=3•22+5•23+7•25+…+（2n+1）•2n+1，相减可得-Tn=6+2（22+23+…+2n）-（2n+1）•2n+1=6+2•4(1-2n-1)1-2-（2n+1）•2n+1，化简可得Tn=（2n-1）•2n+1+2．【解析】（1）由数列的递推式：n=1时，a1=S1，n≥2时，an=Sn-Sn-1，化简运算即可得到所求通项公式；（2）求得∁n=（2n+1）an=（2n+1）•2n，由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，即可得到所求和．本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式，考查数列的错位相减法求和，考查化简运算能力，属于中档题．18.【答案】解：（1）∵f（x）=ax2+bx+c＜2x的解集为（1，3），∴方程ax2-（2-b）x+c=0的两个根是1和3．故2-ba=4ca=3，∴c=3ab=2-4a．又∵f（x）≥2在x∈R上恒成立， ∴ax2-（2-4a）x+3a-2≥0在x∈R上恒成立．则△=（2-4a）2-4a（3a-2）≤0，即（a-1）2≤0，又∵（a-1）2≥0，∴（a-1）2=0，即a=1．∴f（x）=x2-2x+3；（2）由kf（2x）-2x+1≤0，即k（22x-2•2x+3）≤2x-1．∵22x-2•2x+3=（2x-1）2+2＞0，∴k≤2x-122x-2⋅2x+3，设t=2x-1∈[1，3]，则k≤tt2+2．又∵tt2+2=1t+2t≤122，当且仅当t=2t，即t=2时取得最大值24．∴k≤24，即实数k的取值范围为（-∞，24]．【解析】（1）由f（x）=ax2+bx+c＜2x的解集为（1，3），可得b，c与a的关系，把b，c用含有a的代数式表示，结合f（x）≥2在x∈R上恒成立，可得（a-1）2≤0，结合（a-1）2≥0，可得a=1，求得函数解析式；（2）由kf（2x）-2x+1≤0，即k（22x-2•2x+3）≤2x-1，分离参数k，换元后利用基本不等式求最值，则实数k的取值范围可求．本题考查函数解析式的求解及常用方法，考查恒成立问题的求解方法，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．19.【答案】解：（1）∵椭圆C：y2a2+x2b2=1(a＞b＞0)的离心率为32，∴a=2b，设椭圆C的方程为：x24b2+x2b2=1，∵椭圆C过点(12，3)，∴34b2+14b2=1，∴b=1，a=2，∴椭圆C的标准方程为y24+x2=1．…（4分）（2）由题意知，|m|≥1．由题设知切线l的斜率存在，设切线l的方程为y=kx+m，由y=kx+my24+x2=1，得(k2+4)x2+2kmx+m2-4=0，设A、B 两点的坐标分别为（x1，y1）（x2，y2），则x1+x2=-2kmk2+4，x1x2=m2-4k2+4，…（6分）又∵l与圆x2+y2=1相切，∴|m|k2+1=1，k2=m2-1，∴|AB|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=(1+k2)[4k2m2(k2+4)2-4(m2-4)k2+4]=43|m|m2+3，∴S△AOB=12|AB|=23|m|m2+3，m∈（-∞，-1]∪[1，+∞）∴S△AOB=23|m|+3|m|≤232|m|3|m|=1（当且仅当m=±3时取等号）∴当m=±3时，S△AOB的最大值为1．…（13分）【解析】（1）由已知条件设椭圆C的方程为：，再由椭圆C过点，能求出椭圆C的标准方程．（2）由题意知|m|≥1．设切线l的方程为y=kx+m，由，得，利用韦达定理结合题设条件能求出S△AOB的最大值．本题考查椭圆标准方程的求法，考查三角形面积的最大值的求法，解题时要认真审题，注意韦达定理、均值不等式的合理运用．