线性系统的数学模型

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1、第2章线性系统的数学模型★本章主要内容及重点★2-1控制系统的输入-输出时间函数描述★2-2控制系统的输入-输出传递函数描述★2-3非线性数学模型的线性化★2-4典型环节的数学模型★2-5框图及其化简方法★2-6信号流程图本章重点通过本章学习，应着重了解控制系统数学模型的基本知识，熟练掌握线性定常系统微分方程的建立、传递函数的概念和应用知识、控制系统方框图的构成和等效变换方法、典型闭环控制系统的传递函数的基本概念和梅逊公式的应用。本章主要内容本章介绍了建立控制系统数学模型和简化的相关知识。包括线性定常系统微分方程的建立、非线性系统的线性化方法、传递函数概念与应用、方框图及其等效变换、

2、梅逊公式的应用等。概述1.数学模型------描述系统变量之间关系的数学表达式2.建模的基本方法:(1)机理建模法(解析法)(2)实验辩识法3.控制系统数学模型的主要形式:(1)外部描述法:输入--输出描述(2)内部描述法:状态变量描述在控制系统的分析中,线性定常系统的分析有特别重要的意义。工程控制中常用的数学模型有三种：微分方程----------时域描述传递函数----------复域描述频率特性----------频域描述此外还有：差分方程、信号流图、状态方程等。本节主要介绍微分方程与传递函数两种数学模型2-1线性系统的输入-输出时间函数描述线性系统微分方程的建立步骤1.确定系

3、统的输入与输出2.列写系统各部分的微分方程（牛顿三大定律（惯性定律、加速度定律、作用和反作用定律）、能量守恒定律、动量守恒定律、科希霍夫电压、电流定律、物质守恒定律及各学科有关导出定律等等）3.消去中间变量,求出系统的微分方程4.标准化，即将与输入变量有关的各项放到等号的右侧，与输出变量有关的各项放到等号的左侧，且各阶导数按降幂排列。例1编写如图2-1-1所示RLC电路的微分方程式图2-1-1RLC串联网络解:(1)定输入输出量:u----输入量uc----输出量（3）消去中间变量,可得电路微分方程式(2)列写微分方程式中例2弹簧-质量-阻尼器（S-M-D）机械位移系统*比较R-L-

4、C电路运动方程与M-S-D机械系统运动方程相似系统：揭示了不同物理现象之间的相似关系线性系统的性质：具有可叠加性、均匀性（齐次性）线性定常微分方程求解方法直接求解法：通解+特解自由解+强迫解（零输入响应+零状态响应）变换域求解法：Laplace变换方法2-2传递函数微分方程的求解传递函数的定义和性质定义：在线性系统中，当初始条件为零时，输出的L变换C(s)与输入的L变换R(s)之比设线性定常系统由n阶线性定常微分方程描述：在零初始条件下，由传递函数的定义得例1图2-1-1所示RLC电路的微分方程式为初始条件为零时，该电路的传递函数为传递函数的性质（1）因果系统的传递函数是s的有理真分

5、式函数，具有复变函数的性质。（2）传递函数取决于系统或元件的结构和参数，与输入信号的形式无关。（3）传递函数与微分方程可相互转换。（4）传递函数的L反变换是系统的脉冲响应。传递函数的零点与极点z1z2称为传递系数或根轨迹系数图2-2-1传递函数写成因子连乘积的形式称为传递系数或增益或放大系数传递函数的极点就是微分方程的特征根，极点决定了系统自由运动的模态，而且在强迫运动中也会包含这些自由运动的模态。传递函数极点和零点对输出的影响自由运动的模态输入函数零状态响应前两项具有与输入函数相同的模态后两项由极点决定的自由运动模态，其系数与输入函数有关传递函数的零点影响各模态在响应中所占的比重，

6、例如输入信号，零状态响应分别为各个模态在两个系统输出响应中所占的比重不同，取决于零点相对于极点的距离。例如：z1z2图2-2-2零点、极点、传递系数与系统响应的关系极点决定了系统自由（固有）运动属性极点位置决定了系统响应的稳定性和快速性零点决定了运动模态的比重传递系数决定了系统的稳态传递性能闭环系统的传递函数输入信号作用下的闭环传递函数图2-2-3系统框图)(1sG扰动作用下的闭环传递函数输入和扰动共同作用式，系统输出响应为图2-2-4闭环系统的误差传递函数，则有以为输出量时的传递函数误差传递函数若并且2-3非线性数学模型的线性化实际的物理元件都存在一定的非线性，例如弹簧系数是位移的

7、函数电阻、电容、电感与工作环境、工作电流有关电动本身的摩擦、死区小偏差线性化法设连续变化的非线性函数并设在给定工作点邻域展开泰勒级数处各阶导数都存在，则可在具有两个自变量的非线性函数的线性化当很小时，可以忽略上式中二阶以上各项式中设输入量为在给定工作点邻域展开泰勒级数2-4典型环节的数学模型比例环节：其输出量和输入量的关系，由下面的代数方程式来表示式中——放大系数，为一常数。传递函数为：图2-4-1比例环节惯性环节惯性环节的传递函数可以写成如下表达式:现求