第二章、线性系统数学模型

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1、第二章、线性系统的数学模型控制系统数学模型概述一、为什么要建立控制系统的数学模型？1、是定量分析、计算机仿真、系统设计的需要2、是寻找一个较好的控制规律的需要二、什么是控制系统的数学模型？描述控制系统中各变量之间相互关系的数学表达式三、如何建立数学模型？1、提出合理的假设，忽略次要因数，抓住本质。2、建立恰当的数学描述3、非线性环节的处理五、古典控制理论中控制系统模型描述方法1、微分方程2、传递函数四、实际工程应用中建立模型的一般步骤1、把各部件尽可能地作线性化处理；2、建立线性化的系统模型（近似模型）；3、

2、求系统的近似特性；4、建立更复杂的模型，得到更精确的特性。六、建立控制系统数学模型的一般方法1、机理分析法2、实验辩识法第一节线性系统的输入—输出时间函数描述1、建立的目的：确定被控制量与给定输入或扰动之间的关系，为分析和设计创造条件2、建立输入—输出时间函数描述的方法分析系统的工作原理，作合理的假设；确定系统的输入量和输出量；根据物理或化学定律例写描述系统运动的方程；（常用定律：基尔霍夫定律、牛顿定律、能量守恒定律）消去中间变量求出描述系统输入输出关系的微分方程。一、建立线性系统的输入—输出时间描述函数例1

3、、弹簧阻尼系统，图中质量为m的物体受到外力F的作用，产生位移y，求该系统的输入—输出描述解：（1）分析物体m的受力情况，假设k为常数、f为常数;（2）输入量为F，输出量为y;（3）根据牛顿定律列写方程（4）消去中间变量求出描述系统输入—输出关系的微分方程。例2、如图为两个形式相同的RC电路串联组成的滤波电路，建立输入电压为u,求电容C2两端电压uc为输出的微分方程。解：（1）分析电路的工作原理，假设电阻是理想电阻器，电容也是理想的电容器；（2）输入量为u，输出量为uc;（3）根据基尔霍夫定理列写方程（4）消去

4、中间变量求出描述系统输入—输出关系的微分方程。二、描述线性定常系统输入—输出关系的微分方程一般形式：三、实验法建立模型基本原理1、基本原理：设系统是线性定常系统，且t=0时系统的响应及其各阶导数均为零，则其响应与输入之间其次性和线性关系，即满足2、脉冲函数单位脉冲函数延迟单位脉冲函数3、实验方法如果以单位脉冲函数作为输入函数，则系统输出为称为单位脉冲响应。如果以脉冲强度为A的延迟脉冲函数作为输入函数，将其施加于初始条件为零的线性定常系统，它将满足第二节线性系统的输入—输出传递函数描述R(S)—输入函数的拉氏变

5、换C(S)—输出函数的拉氏变换S—拉氏算子说明:1、拉氏算子为复变量，单位为S-12、利用拉氏变换之后，卷积分公式变成代数方程，G（S）称为系统的传递函数，它是系统单位脉冲响应的象函数，在电路分析中也称为网络函数；3、卷积分公式只适用于初始条件为零的线性定常系统，传递函数可定义为初始条件为零的线性定常系统输出的拉氏变换与输入的拉氏变换之比；4、传递函数中的S算子可与角频率ω联系起来，传递函数也称为频域描述。5、得到系统传递函数的方法实验法、分析法用分析法求系统传递函数假设通过对系统机理模型分析得到n阶系统的微

6、分方程为假设初始条件为零！！对等式两边取拉氏变换可得：极点：零点：代数方程式的根由方程式的结构与其各项系数确定，系统极点和零点由系统结构与参数确定。第三节非线性数学模型的线性化1、什么叫非线性数学模型的线性化？在一定条件下将非线性系统近似的视为线性系统2、典型非线性—发电机激磁特性3、小范围线性化的概念和原理假设对于一般的非线性系统，其输入量为r,输出量为c=f(r),并设在给定的工作点c0=f(r0)处各阶导数均存在，则可以展开成泰勒级数：在处理线性化问题时，要注意以下几点：（1）工作点不同，线性化方程的参

7、数不同；（2）当输入量变化范围较大时，用上述方法建立模型时会会引入较大误差；（3）本质非线性，不能采用上述线性化方法，小范围线性化只适用于非线性不很严重的非线性系统；（4）线性化后得到的微分方程，是增量方程，但为了简化方程，一般略去增量符号作业2、P432—1RC网络3、P432—3电动机第四节典型环节的数学模型什么是典型环节?不同的物理系统是由许多元件、按不同结构和不同运动原理构成的。但抛开具体的结构和物理特点，研究其运动规律和数学模型的共性可以划分成为数不多的几种典型的数学模型，称为典型环节。常见典型环节

8、:比例环节、惯性环节、积分环节、微分环节、振荡环节和迟后环节。一、比例环节特点：输入量输出量之间的关系为固定比例关系传递函数：常见物理系统：杠杆（无弹性形变的）、放大器（非线性和时间延迟可忽略）、测速电机电压与转速关系、传动链之速度比等等。二、惯性环节特点：输入量输出量之间的关系满足下列微分方程传递函数：—时间常数—比例系数单位阶跃响应：在单位阶跃输入信号的作用下，惯性环节的输出是非周期的指数函数。