线性系统的数学模型

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1、教学目的：了解建立自动控制系统数学模型的意义、掌握建立数学模型的方法教学重点：动态结构框图、传递函数、信号流图教学难点：结构图化简本章授课学时：8第二章线性系统的数学模型第一节线性系统的时域数学模型——微分方程第三节线性系统的复域数学模型——传递函数第四节结构图第五节信号流图和梅逊增益公式的应用☛☛☛☛返回本章研究内容数学模型:就是描述系统输入、输出变量以及内部其它变量之间关系的数学表达式。数学模型静态模型动态模型外部描述（微分方程，适合单变量系统）内部描述（状态方程，适合多变量系统）本章返回2.1线性系统的时域数学模型——微分方程线性

2、系统特点线性定常微分方程求解列写系统微分方程的一般方法本章返回理论推导：根据各环节所遵循的物理或化学规律编写（如力学、流体力学、电学、热学等）实验求取：根据实验数据进行整理编写(系统辨识)方法理论推导——解析法实验求取——实验法微分方程c(t)r(t)n(t)(1）确定系统及各环节输入、输出量。(2)从输入端开始，按信号传递方向，根据物理或化学规律，分别编写每个元件的微分方程。(3)联立求解，消去中间变量，经整理就可得到只含有输入、输出的系统微分方程。（4）标准化，将与输入有关的各项放在等号右侧，与输出有关的各项放在等号左侧，并按降幂排

3、列。本章返回本节返回2.1.1列写系统微分方程的一般方法例1：编写如图RC电路动态微分方程解：⑴确定输入、输出量输入：r(t)=u1输出：c(t)=u2⑵列写原始微分方程u1=iR+u2①i=Cdu2/dt②⑶消去中间变量i得：RCdu2/dt+u2=u1Riu1〜Cu2RC电路微分方程本章返回本节返回同理RL电路微分方程为：Ldi/dt+iR=uRc(t)=iLr(t)=u结论：不同系统，可以有相似的数学模型即有相同的运动规律前述RC电路微分方程为：本章返回本节返回【例2.1】RLC电路，试列写以ui(t)为输入量，以u0(t)为输出

4、量的微分方程。解：为设定的回路电流，根据基尔霍夫定律二阶线性微分方程udMidn⑵列写原始微分方程电枢回路的微分方程式转动部分的机械运动微分方程式电枢回路微分方程机械运动微分方程(忽略负载力矩和黏性摩擦力矩)例2：编写电枢控制的他励直流电动机的微分方程解：⑴确定输入、输出量输入量：r(t)=ud，输出量：c(t)=n本章返回本节返回ed----电动机电枢反电势n-------电动机转速Rd----电动机电枢回路电阻M-------电动机的电磁转矩Ld----电动机电枢回路电感GD2----电动机的飞轮惯量id-----电动机电枢回路电流

5、Cm----电动机的转矩常数Ce-----电动机电势常数⑶消去中间变量id、ed、M，整理得：令电磁时间常数机电时间常数本章返回本节返回⑷当输入量r(t)=ud，输出量c(t)=θ时，其微分方程为：结论：同一系统当研究的问题不同时，其数学模型不同得：本章返回本节返回例3：如图为直流电动机转速闭环自动控制系统，试写出其微分方程式。-nud电抗器+-ufR01R02R12K1_+比较放大K1功率放大KS解：⑴确定输入、输出量输入量：r(t)=Ug给定电压输出量：c(t)=n电机转速Uguk本章返回本节返回U⑵列写各环节微分方程比较放大环节

6、：(当R01=R02时)uk=K1(Ug-uf)其中：K1=R12/R01功率放大环节：(忽略时滞环节和非线性因素）ud=Ksuk直流电动机：反馈环节：uf=Ksfn四个方程，五个变量本章返回本节返回⑶联立方程，消去中间变量：uk,ud,uf，得：标准化：令K1Ks=Ky，K1KsKsf/Ce=Kk开环系统的微分方程式为：本章返回本节返回线性定常系统微分方程式的一般表达式为：用线性微分方程描述的元件或系统——称为线性元件或线性系统2.1.2线性系统特点——叠加性、均匀性（齐次性）本章返回本节返回2.1.3线性定常微分方程求解求解步骤如下

7、：(1)微分方程两边取拉氏变换。(2)将给定的初始条件与输入信号代入方程。(3)写出输出量的拉氏变换。(4)拉氏反变换求出系统输出的时间解。经典法——解微分方程拉氏变换法本章返回本节返回r(t)→c(t)【例2.2】有一RC网络如图2.2所示，在开关S闭合前，电容上有初始电压uc(0)。求：当开关瞬时闭合后，电容的端电压uc(t)。解：当开关S瞬时闭合时，相当于有阶跃电压u0·1(t)输入，微分方程为:本章返回本节返回两端进行拉氏变换：输出的拉氏变换：部分分式分解：本章返回本节返回零状态响应特解零输入响应通解0tuc(t)u0uc(0)

8、本章返回本节返回两端进行拉氏反变换：典型环节的传递函数传递函数的定义第三节线性系统的复域数学模型——传递函数传递函数的性质传递函数的表示方法求传递函数本章返回建立系统微分方程分析系统的性能解微分方程，求c(