线性系统的数学模型

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1、第2章线性系统的数学模型实际存在的自动控制系统可以是电气的、机械的、热力的、化工的，甚至是生物学的、经济学的等等，然而描述这些系统的数学模型却可以是相同。本章介绍了系统的各类数学模型如微分方程，传递函数，方框图，信号流图的求取以及它们之间的相互关系。最后介绍用MATLAB求取系统的数学模型。第2章线性系统的数学模型系统数学模型的建立，是分析和设计系统的首要任务，可以有多种形式：时域中——微分方程式复域中——传递函数，结构图频域中——频率特性u(t)y(t)系统描述控制系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系的数学表达式，称为系统的数学模型。第2章线性系统

2、的数学模型数学模型虽然有不同的表示形式，但它们之间可以互相转换，可以由一种形式的模型转换为另一种形式的模型。建立数学模型的方法建立系统的数学模型简称为建模。系统建模有两大类方法，或者说有两种不同的途径。一类是机理分析建模方法，称为分析法，另一类是实验建模方法，通常称为系统辨识。第2章线性系统的数学模型同一个系统，可用不同的数学模型来表达。数学模型的复杂程度可以不同。如何选择：既不致造成数学处理上的困难，又不致影响分析的准确性而达不到分析研究的目的。根据将要应用的系统分析方法，建立相应形式的数学模型。完全不同物理性质的系统，其数学模型具有相同的形式。利用电

3、气系统来模拟机械系统进行实验研究。第2章线性系统的数学模型内容§2.1线性系统的微分方程§2.2微分方程的线性化§2.3传递函数§2.4方框图§2.5信号流图§2.6在MATLAB中数学模型的表示小结第2章线性系统的数学模型列写系统微分方程的一般步骤：（1）确定系统的输入、输出变量；（2）从输入端开始，按照信号的传递顺序，依据各变量所遵循的物理、化学等定律，列写各变量之间的动态方程，一般为微分方程组；（3）消去中间变量，得到输入输出变量的微分方程（4）标准化：将与输入有关的各项放在等号右边，与输出有关的各项放在等号左边，并且分别按降幂排列，最后将系数归化

4、为反映系统动态特性的参数，如时间常数等。§2.1线性系统的微分方程第2章线性系统的数学模型例2.1列写如图2.1所示RC网络的微分方程。给定输入电压为系统的输入量，电容上的电压为系统的输出量。设回路电流为i，则电阻上的电压为电容上的电压与电流的关系为由基尔霍夫电压定律，列写回路方程式图2.1RC电路消去中间变量、i得令为电路时间常数，则可见RC网络是一阶常系数线性微分方程。第2章线性系统的数学模型例2.2二阶RC网络系统：令T1=R1C1，T2=R2C2，T12=R1C2则得：可见二阶RC网络是二阶常系数线性微分方程。第2章线性系统的数学模型例2-3图为

5、一弹簧阻尼系统，当外力F(t)作用于系统时，系统将产生运动。试列写外力F(t)与位移y(t)之间的微分方程。第2章线性系统的数学模型弹簧-质量-阻尼器机械系统：对于弹簧：对于阻尼器：对于质量m：化为标准形式：代入后得式中k——弹簧系数f——阻尼系数第2章线性系统的数学模型整理且标准化令称为时间常数；称为阻尼比；称为放大系数。得可见：弹簧-质量-阻尼器机械系统也是二阶常系数线性微分方程。第2章线性系统的数学模型完全不同物理性质的系统，其数学模型具有相似性！弹簧-质量-阻尼器系统：二阶RC无源网络：第2章线性系统的数学模型例2.4R-L-C串联网络的数学模型

6、输入输出模型:返回第2章线性系统的数学模型§2.2微分方程的线性化实际的物理系统往往有间隙、死区、饱和等各类非线性现象。严格地讲，几乎所有实际物理和化学系统都是非线性的。目前，线性系统的理论已经相当成熟，但非线性系统的理论还远不完善。因此，在工程允许范围内，尽量对所研究的系统进行线性化处理，然后用线性理论进行分析不失为一种有效的方法。第2章线性系统的数学模型当非线性因素对系统影响较小时，一般可直接将系统当作线性系统处理。另外，如果系统的变量只发生微小的偏移，则可通过切线法进行线性化，以求得其增量方程式。第2章线性系统的数学模型非线性函数的线性化，是指将非

7、线性函数在工作点附近展开成泰勒级数，忽略掉高阶无穷小量及余项，得到近似的线性化方程，来替代原来的非线性函数。第2章线性系统的数学模型假如元件的输出与输入之间关系x2=f(x1)的曲线如图，元件的工作点为(x10，x20)。将非线性函数x2=f(x1)在工作点(x10，x20)附近展开成泰勒级数第2章线性系统的数学模型当(x1－x10)为微小增量时，可略去二阶以上各项，写成其中为工作点(x10，x20)处的斜率，即此时以工作点处的切线代替曲线，得到变量在工作点的增量方程，经上述处理后，输出与输入之间就成为线性关系。第2章线性系统的数学模型图2-8为一铁芯线

8、圈，输入为ui(t)，输出为i(t)。线圈的微分方程为第2章线性系统的数学模型当