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1、园的弦长及运用直线与圆相交的弦长及运用直线I与圆相交于A,B两点则AB?2r?d(d表示圆心到直线的距离即弦心距)1,(2010四川卷)直线l:x?2y?5?0与圆x2?y2?8相交于A,B两点,则AB?・解析；圆心(0Q)到直线l:x?2y?5?0的距离d二5522?5则AB?2r?d22?23o2,(2009天津卷)若圆0：x2?y2?4与圆x2?y2?2ay?6?0?a?0?的公共弦的长为23,则a?22??x?y?2ay?6?(l)解析；？(1)■⑵得ay?l即公共弦所在直线I方程为y?22??x?y?4?(2)1a因为公共弦的长为23所以0
2、(0,0)到直线l:y?la的距离为1?la?l,?a?l2,(2009山东卷)已知圆的方程为x2?y2?6x?8y?0设该圆过点P(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,求四边形ABCD的面积解析；圆的标准方程为(x?3)2?(y?4)2?52,由平烦几何知识得圆的最长弦为圆的直径，？BD?则AC?10,过点P的弦最短时，BD?AC,而圆心(3,4)到直线BD的距离为1,2r?d22?25?1?46,?S?2212AC?BD?12?10?46?206o点评：本题考查与圆有关的最值知识以及一般四边形面积的求法。对考牛的逻辑推理要求较高，关键在于考
3、牛分析出过点P的圆的最长弦，最短弦在什么位置，满足什么条件。222,已知P?m,n?是圆O：x?y?5内一点,直线ll:mx?ny?5与圆相交于A,B两点，求弦AB的长的取值范围解析；?Pd?5m?n22?m,n?是圆220：x?y?5内一点?0?m?n?5,22?l,?l?d?5,AB?25?d222??0,4?故AB的取值范围是?0,4?o3,（2010湖北卷）过点A?ll,2?作圆x?y?2x?4y?164?0的弦，求弦长为整数的直线的条数。分析：最长，短弦唯一，对称性知其它对应值有两条解析；圆的标准方程为(x?l)?(y?2)?13所以过点A
4、?ll,2?的最长弦长为26其直线222只有一条，最短弦长为10,其直线也只有一条，弦长取值范围为?10,26?,由对称性知弦长为11的直线有两条,?,?弦长为整数的直线的条数为2+2?15?322,(全国卷)已知AC,BD为圆O：x2?y2?4的两条相互垂直的弦，垂足为M12求四边形ABCD的面积的最大值。解析；収AC的中点F,BD的中点E,则OE?BD,OF?AC又BD?AC所以四边形OEMF为矩形，记dl?OF,d2?OE?dl?d2?OM24?dl,BD?24?d2?SABCD?2••?3,又AC?12ACBD?24?dl24?d2=2322
5、l?d?(4?d2222)?2?d2??■232■2■254?0?d2?3?当d2?时S有最大值5.点评：本题主要考查直线与圆相交的弦长问题，构造函数求最值及综合解题能力。7,(2009江苏卷)在平面直角坐标系xOy屮，已知圆Cl:(x?3)2?(y?l)2?4和圆C2:(x?4)?(y?5)?4⑴若直线I过点A(4,0),且被圆Cl截得的弦长为23,求直线I的方程；⑵设P为平瓯上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线II和12,它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线II被圆C2截得的弦长与直线12被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P
6、的坐标。解析；⑴由于直线x?4与圆C1不相交，所以直线I的斜率存在，设直线I的方程为y?k?x?4?圆C1的圆心到直线I的距离为d,?直线I被圆C1截得的弦长为23?d?22•••2?1所以d??k??3?4?l?k2?l?k?24k?7??0即k?0或k??724所以直线I的方程为y?0或7x?24y?28?0o⑵设点P?a,b?满足条件，不妨设直线II的方程为y?b?k?x?a?,k?O则直线12的方程为y?b???x?a?o因为圆Cl和圆C2的半径相等，且直线II被圆C1截得的弦长与直线12被圆C2截得的弦长相等由弦长公式得dl?d2即l?k?
7、?3?a??bl?k25?1k?4?a??b1?12k整理得?3k?ak?b=4?5k?bk?a去掉绝对值得?a?b?2?k?b?a?3或?a?b?8?k?b?a?5因为k的取值范围有无穷多个，所以?b?132或？?a??斤这样点P只可能是Pl?52?a?5?a?b?2?0?a?b?8?02或?解得?？?b?a?3?0?b?a?5?0?b??P2??32123212?或?经检验点Pl?5,?,132212?或P2??32?满足题日条件。,132点评：本题主要考查圆的弦长公式及运用，恒成立的求解，考查学生数学运算能力，综合分析问题的能力。湖南省张家界市
8、武陵源一中高飞颜建红电话13170446290邮编：427400
