第6章_统计量及其抽样分布

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1、第6章统计量及其抽样分布6.1统计量6.2关于分布的几个概念6.3由正态分布导出的几个重要分布6.4样本均值的分布与中心极限定理6.5样本比例的抽样分布6.6两个样本平均值之差的分布6.7关于样本方差的分布推断统计在统计方法中的地位统计方法描述统计推断统计参数估计假设检验统计推断的过程总体总体均值、比例、方差样本样本统计量例如：样本均值、比例、方差6.1统计量6.1.1统计量的概念6.1.2常用统计量6.1.3次序统计量6.1.4充分统计量6.1.1统计量的概念Statistic是用来描述样本特征的概括性数字度量。它是根

2、据样本数据计算出来的一个量，由于抽样时随机的，因此统计量是样本的函数。定义6.1设x1,x2,…,xn是从总体X中抽取的容量为n的一个样本，如果此样本构造一个函数T(x1,x2,…,xn)，不依赖于任何未知参数，则称T(x1,x2,…,xn)是一个统计量。如：样本均值、方差等是统计量6.1.2常用统计量样本均值样本方差样本变异系数样本矩6.1.2常用统计量样本矩：设x1,x2,…,xn是一个大小为n的样本,对自然数k，分别称为k阶样本原点矩和k阶样本中心矩,统称为样本矩。许最常用的统计量，都可由样本矩构造。例如，样本均值

3、（即α1）和样本方差6.1.3次序统计量把样本X1,x2，…，xn由小到大排列，得到，称之为样本x1,x2,…,xn的次序统计量。其中最小次序统计量x(1)最大次序统计量x(n)称为极值,在那些如年枯水量、年最大地震级数、材料的断裂强度等的统计问题中很有用。还有一些由次序统计量派生出来的有用的统计量，如：样本中位数是总体分布中心位置的一种度量，它容易计算且有良好的稳健性。6.1.4充分统计量统计量是由样本加工而成的,在用统计量代替样本作统计推断时，样本中所含的信息可能有所损失,如果在将样本加工为统计量时,信息毫无损失，则

4、称此统计量为充分统计量。例如，从一大批产品中依次抽出n个,若第i次抽出的是合格品,则xi=0,否则xi=1(i=1,2,…,n)。总体分布取决于整批产品的废品率p,可以证明:统计量，即样本中的废品个数,包含了(x1，x2，…，xn)中有关p的全部信息，是一个充分统计量。若取m

5、适用面广且应用方便,利用它可以验证很多常见统计量的充分性。例如,若正态总体有已知方差,则样本均值是充分统计量。若正态总体的均值、方差都未知，则样本均值和样本方差S2合起来构成充分统计量。一个统计量是否充分,与总体分布有密切关系。6.2关于分布的几个概念6.2.1抽样分布6.2.2渐进分布6.2.3随机模拟获得的近似分布6.2.1抽样分布统计量的分布叫抽样分布。统计量的性质以及使用某一统计量作推断的优良性，取决于其分布。所以抽样分布的研究是数理统计中的重要课题。寻找统计量的精确的抽样分布，属于所谓的小样本理论的范围，但是只

6、在总体分布为正态时取得比较系统的结果。对一维正态总体，有三个重要的抽样分布，即ⅹ2分布、t分布和F分布。抽样分布某个样本统计量的抽样分布（samplingdistribution）,从理论上说就是在重复选取容量为n的样本时，由每一个样本算出的该统计量数值的相对频数分布或概率分布。所有样本指标（如均值、比例、方差等）所形成的分布是一种理论概率分布样本统计量是随机变量样本均值,样本方差、样本比例等结果来自容量相同的所有可能样本6.2.2渐进分布由于寻找精确的抽样分布有困难，统计学者转而研究当样本大小n→∞时统计量的渐近分布(

7、即极限分布)，这种研究是数理统计大样本理论的基础性工作。6.2.3随机模拟获得的近似分布在实际应用中，有许多问题要寻求它的精确分布和渐进分布都是非常困难的，而在计算机飞速发展的今天，利用计算机进行模拟来获得某种统计量的近似分布已十分容易。Excel——工具——数据分析——随机数发生器6.3由正态分布导出的几个重要分布6.3.1正态分布6.3.2卡方分布6.3.3t分布6.3.4F分布6.3.1正态分布1.描述连续型随机变量的最重要的分布2.可用于近似离散型随机变量的分布例如:二项分布3.经典统计推断的基础xf(x)概率密

8、度函数f(x)=随机变量X的频数=总体方差=3.14159;e=2.71828x=随机变量的取值(-02.正态曲线的最高点在均值，它也是分布的中位数和众数3.正态分布是一个分布族，每一特定正态分布通过均值的标准差来区分。决