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1、直线方程有关问题探析一、距离问题题目：已知直线方程y=kx+b，点P（M、N）不在该直线上，求点P到直线的最短距离？解：已知条件：直线方程y=kx+b，点P（M、N）,该点不在直线上。求解问题：点P到直线y=kx^-b的最短距离。根据题意，点P（M、N）到直线方程y=kx^b的最短距离，就是通过点P且垂直于y=kx+b的直线上P点到垂点的长度——这样问题就转化求解新直线方程了。设，通过点P且垂直于y=kx+b的直线方程为y=kx+b。（1）新直线方程y=kx+b的斜率根据相互垂直的直线方程的有关定律，可知通过点P（M、N）且垂直于
2、y=kx+b的直线方程的斜率为y=kx+b的斜率的负倒数，即-丄。因此，新直线方程为尸-丄兀+几kk（2）新直线方程y丄兀+/的F（在y轴上的纵坐标）k因为点P（M、N）在），=一丄x+上，把点P（M、N）代入）y-丄x+b',得kk解之得于是，新直线方程为N=~M+bk.1b=N+-Mk1小M、y=--x+(N+—)kk(3)确定两直线交点坐标联立直线方程y=kx+b^y=-—x+(N+—),得kkkx+b=——x+(N+——)kk该方程只有一个变量兀，解之得代入y=kx+b,得k2N+kM-k2bk2h+hk?N+kM+b1=
3、k2+k2+k2+即两直线交点坐标为:kN+M-kbL=kN+M-肋丫k2+l)1(k~M-kN+kb^[—刁—)'N-kM-/?YIk~+｛丿(3)求P点到直线y=kx+b的最短距离由平面直角坐标系的距离公式可知，最短距离为「N+kMk2+.这个方程比较复杂，也难以化到很简便，略去。二、例题题口：已知直线方程y=3x+2,求点P（6、2）到直线的最短距离？解：（1）确定新直线方程的斜率设，通过点P（6、2）且垂直于y=3兀+2的直线方程为y=kx+b，则k=-」3于是，新直线方程为1,y=——%+/?3（2）确定新直线
4、方程的b又P（6、2）在y=--x+h±f因此，得"31=——x6+b3解之得b=4那么，新直线方程可以表示为1,y=——x+43（3）求两直线方程交点坐标联立直线方程y=3兀+2与y=一*+4,得3x+2=--x+42整理得3丄*23解之得3兀=—5代入y=3兀+2,得y=3x_+2=—553x=—5即，交点坐标为：《19(4)求距离(3/5,19/5)y=——x+4,3((),2),TP(6，2)L=-Vio5三、探析kN+M-kbx=k2+(1)验证坐标公式＜「N+kM+bV=在(一)分析中，已知点P(M,N),直线方程y
5、=kx+b,在(二)分析中，已知点P(6,2),直线方程y=3x+2。根据对应关系，得M=6,N=2,k=3,b=2kN+M—kbx=zk2+l把这些参数代入公式,得k2N+kM+b3x2+6-3x2b32+l32x2+3x6+2_19该值与逐步分析计算的结果相同，因此公式的结论是正确的!（2）验证距离公式厶二「M-kN+kb疋+1N-kM-b[~~疋+1)把M=6,N=2,k=3,b=2代入上式，得<32x6-3x2+3x22-3x6-2丫~~宀1)r32x6—3x2+3x2、2—3x6—2丫18x3101*x32)182io2
6、+孑——该值与逐步分析计算的结杲相同，因此公式的结论也是止确的！三、面积问题题目：已知直线方程y=3兀+2,P（6、2）是直线外一点。若y=3兀+2上还有一点，且该点、P点与两直线的最短距离的直线包围的三角形面积为可，求该点的坐标？解：（1）根据前面的结论，垂直于y=3兀+2的且过P（6、2）的直线方程为y=-}+4,两直线交点坐标为（丄，—）o设y=3兀+2另一点与（
7、,-）的距离为厶‘，根据三角形面积定律，得S=-LH2因为//为p点到两直线交点的距离，即H=-Vio,代入上式，并考虑s=—,得解之得然而，该点可能位于两直线交
8、点（¥，¥）的左侧，也可能位于交点右侧，设其坐标为（X,y）,则(3x——L57、2+19、2-Vio整理得因为（x,y）在直线y=3x+2上，则<19]X——+ix+2—15j5J5x2-6x=0=^VioX]=06廿7把它们代入y=3x+2,得X=228也就是说，在两直线交点（？，空）的左侧和右侧均有一个点，满足3点组成的三角形面积为¥■丿7题th已知直线y=3x+2,A（-彳、0）是直线上一点，P（6、2）是直线外一点。如果直线上还冇一点B,且A、B与P包围的面积为6,求B点坐标？解：（1）根据前面的结论，垂直于y=3x+2
9、的口过P（6、2）的直线方程为y=--x+4,3两直线交点坐标为（色，—）,P点到y=3兀+2的最短距离为-VlOo虽然我们不知道B在A的哪一侧，但A、B与P包围的面积为6,因此根据三角形面积定律，可以求出AB的距离即S=-LabH=6因为丹为p点
