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《有关直线方程的距离及面积问题探析》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、有关直线方程的距离及面积问题探析中山市技师学院葛中海一、距离问题题目：已知直线方程y=hc+b，点P（M、N）不在该直线上，求点P到直线的最短距离？解：已知条件：直线方程y=kx+b，点P（M、N）,该点不在直线上。求解问题：点P到直线y=d+方的最短距离。根据题意，点P（M、N）到直线方程y=kx^b的最短距离，就是通过点P且垂直于y=kx^b的直线上P点到垂点的长度——这样问题就转化求解新直线方程了。设，通过点P且垂直于y二也+〃的直线方程为y=kx-i-ho（1）新直线方程y=kx+b的斜率根据相互垂
2、直的直线方程的冇关定律，可知通过点P（M、N）冃垂直^y=kx+h的直线方程的斜率为y=kx+b的斜率的负倒数，即-丄。因此，新直线方程为y=--x^bkk（2）新直线方程y二-丄兀+F的F（在y轴上的纵坐标）k因为点P（M、N）在〉，=—丄兀+//上，把点P（M、N）代入），=—丄兀+//,得kk解之得于是，新直线方程为N=~M+bk.1b=N+-Mk1小M、y=--x+(N+—)kk(3)确定两直线交点坐标联立直线方程y=kx+b^y=-—x+(N+—),得kkkx+b=——x+(N+——)kk该方程
3、只有一个变量兀，解之得代入y=kx+b,得k2N+kM-k2bk2h+hk?N+kM+b1=k2+k2+k2+即两直线交点坐标为:kN+M-kbkN+M-肋丫k2+l)(k2M-kN+kb'z+(N-kM-b［宀1丿—2+1丿(伙M-2+/?)2伙2+1)V(，+l)2J伙？+l)(3)求P点到直线y=kx+b的最短距离由平面直角坐标系的距离公式可知，最短距离为「N+kMk2+.二、例题题目：已知直线方程^=3x+2,求点P（6、2）到直线的最短距离？解：（1）确定新直线方程的斜率设，通过点P（6
4、、2）11垂直于y=3兀+2的直线方程为y=kx+b,则k=丄3于是，新直线方程为1.y=——x+b3（2）确定新直线方程的b又P（6、2）在y=+b上，因此，得32=--x6+b3解之得b=4那么，新直线方程可以表示为y=——x+43（3）求两直线方程交点坐标联立直线方程y=3x+2与y=_}+4,得3x+2=—x+43整理得3-x=23解之得3x=—5代入y=3x+2,得"3卡+2十即，交点坐标为：19r（4）求距离/q、2z6——+2-L5丿19、2'27(3/5,19/5)y=——x+4,3（（）,
5、2）yrP(6,2)j=-Vio5三、探析kN+M—kbx=（1）验证坐标公式2k2+1N+kM+b＞，=在（一）分析中，已知点P（M,N）,直线方程y=kx+b,在（二）分析中，已知点P（6,2）,直线方程y=3x+2。根据对应关系，得M=6jN=2,k=3,b=2kN+M—kb把这些参数代入公式x=zk2+l,得k2N+kM+b3x2+6-3x2b3^7132x2+3x6+2_19y该值与逐步分析计算的结果相同，因此公式的结论是正确的!（2）验证距离公式d=(k2M—kN+kb、、2'N-kM—b〔疋
6、+1丿把M=6,N=2,k=3,b=2代入上式,得W-N+b
7、_
8、3x6-2+2该值与逐步分析计算的结果相同，因此公式的结论也是正确的!三、面积问题题目：已知直线方程y=3兀+2,P（6、2）是直线外一点。若y=3x+2上还有一点，Ji该点、P点与两直线的最短距离的直线包围的三角形而积为手，求该点的坐标？解：（1）根据询面的结论，垂直于y=3x+2的且过P（6、2）的直线方程为y=-*+4,两直线交点坐标为（色，—）o设y=3x+2另一点与冷，善）的距离为d',根据三角形面积定律，得S=-dH2因为H为P点
9、到两直线交点的距离，即//=-V10,代入上式，并考虑5=—,得空丄/価525解Z得=-Vio然而，该点可能位于两直线交点（¥，¥）的左侧，也可能位于交点右侧，设其坐标为（X,y）,则(3、2(19)X——+y-15丿5丿d'=2=^Vio因为（x,y）在直线y=3x+2上，则(3、2(19]X——+3x+2—15J5J整理得5x2-6x=0%]=0I*把它们代入y=3x+2,得>1=228-）如下图所示。也就是说，在两直线交点（？，空）的左侧和右侧均有一个点，满足3点组成的三角形面积为艺，这两个点坐标为（
10、（），2）和（°四、推论7题目：己知冃线y=3x+2,A（——、0）是直线上一点，P（6>2）是直线外一点。如3果直线上还有一点B,且A、B与P包围的面积为6,求B点坐标？解：（1）根据前面的结论，垂直于y=3兀+2的且过P（6、2）的直线方程为y=-*尤+4,两直线交点坐标为（丄，—）,P点到y=3x+2的最短距离为-VlOo虽然我们不知道B在A的哪一•侧，但A、B与P包围的面积为6,因此根据三角形面积定律，可
