陈湘平(异曲同工的几道探究题赏析)

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1、异曲同工的几道探究题赏析广东省珠海市第四中学（519015）陈湘平在现行的新教材七年级数学上册安排了线（直线、线段.射线）和角的有关内容，其中涉及到有关有多少条线段.有多少个角等数数的探究性问题，细究一番，发现了其异曲同工之妙。例1如图所示，共有多少条线段？如果线段上共有n个点（包括端点），则共有多少条线段？1111ACDB解：（1）易知上图中的线段有AC,AD,AB;CD,CB;DB共6条。（2）我们先从简单的情形入手：（D11线段ABAB②11线段AB,AC;BCABC③

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5、线段AB,AC,AD;BC,BD;CDABCD如果用表格来整理的就不难观察、推理出问题的答案:线段

6、上的点数（包括端点）线段的条数21=133=1+246=1+2+3n?=1+2+3+……+(n-1)以此类推，如果线段上共有n个点（包括端点），则共有1+2+3++（n-1）条线段。例2如图所示，共有多少个角？如果由一个点出发共有n个射线，则共有多少个角？解：(1)右图的角有ZAOB,ZAOC,ZAOD;ZBOC,ZBOD;ZCOD共6个。ZAOBZAOB,ZAOC;ZBOC⑵我们先从简单的情形入手:ZAOB，ZAOC,ZAOD;ZBOC,ZBOD;ZCOD同样可以用表格来整理观察.推理出问题的答案:射线条数角的个数21=133=1+246=1+2+3n?=1+2+3+……+(n

7、-1)同理，如果由一个点出发共有n个射线，则共有1+2+3+……+(n-1)个角。例3两条直线相交，有一个交点，三条直线相交，最多有多少个交点？四条直线呢？你能发现什么规律或有什么猜想？解：如下图所示易知：(1)三条直线相交，最多有三个交点；(2)四条直线相交，最多有六个交点；与上两例同，不难得到如果有n个直线相交，则最多有1+2+3++(n-1)个交点。一条直线可以把平面分为两个部分，两条直线最多可以把平面分为四个部分，那么三条直线最多可以把平面分为几个部分？四条直线呢？你能发现什么规律或有什么猜想?⑵两条直线最多可以把平面分为四个部分;三条直线最多可以把平面分为七个部分;(4

8、)四条直线最多可以把平面分为十一个部分。相交直线条数最多分平面得的部分数12=1+124=1+1+237=1+1+2+3411=1+1+2+3+4n?=1+1+2+3++(n-1)+n按照上面例子的分析方法，不难得到如果有n个直线相交，则最多可以把平面分为1+1+2+3+……+(n-1)+n个部分。可以看到，这四道题异曲同工，如出一辙。异曲同工的背后，其实是跟高等数学中的排列组合是紧紧联系在一起的。如例1,其实只要有两个点就可以组成一条线段(不用考虑端点的次序，即线段AB与线段BA是一样的，只能算是一条线段)，所以共有C；=㈣=6条线段，因此如果线段上共有n个点(包括端点),2x

9、1则共有C：=心-1)条线段，其实宀(—1)=1+2+3+……+(n-l)。2x12x1例2与例1同。又如例3,不难知道，要想直线与直线有最多交点，意即任意两条直线都要相交而且任意三条直线不能相交于一点，因为每两条直线都有一个交点，所以n条直线相交最多有C：=处丁-1)个交点,其实2x1"一1)=1+2+3+……+(n-l)。按照上面三个例子的分析方法，2x1就容易找到例4的答案。中科院院士、北京师范大学原校长王梓坤教授曾说：“我们不应该像蚂蚁，单只收集；也不可像蜘蛛，只从自己肚中抽丝；而应该像蜜蜂，既采集，又整理，这样才能酿出香甜的蜂蜜来。”上面的几道探究题，渗透了高等数学中的

10、排列组合知识，通过类比.整理，可以很好地激发学生的求知欲和研究数学的兴致，在教学中应注意把握.利用。