资源描述：
《浅谈利用函数奇偶性解题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、浅谈利用函数奇偶性解题富盛屮学老杨摘要：奇偶性是函数的重要基本性质之一，函数的奇偶性反映的是函数图形的对称性质，偶函数图形关于y轴对称，奇函数图形关于原点对称，奇偶性可以帮助人们更加准确和集中地研究函数的变换规律。论文将以函数的奇偶性推广到函数奇偶性的一些重要性质，在讨论如何利用函数奇偶性定义和性质解题。关键词：函数奇偶性；判定；应用函数是初等数学的主要内容更是屮学数学的重要内容函数的奇偶性又是函数的一个重要性质，利用函数奇偶性的定义及性质能解哪些题型，函数奇偶性在解题屮有那些应用？论文将一一解决此类问题。1.函数奇偶性的定义理解(1)一般地，如果对于
2、函数f(x)的定义域内的任意一个X,都有/(%)=-/(-%),则称f(x)为这一定义域内的奇函数。奇函数的图象关于原点对称。(2)—般地，如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有/(x)=/(-x),则称f(x)为这一定义威内的偶函数。偶函数的图彖关于y轴对称⑴。(3)一般地,如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都没有且/(X)H/(-兀)，则称函数f(x)为非奇非偶函数汽理解定义实际上包括了四个条件：(1)函数定义域关于原点对称，即定义域是原点的对称区间，如(a,-a),(-00,+00)。(2)当x雇干宗义域吋.-X巾一•宗雇干宗
3、义域、(3)讨论函数奇偶性时必须在整个定义域上研究，而不能在定义域的子集内研究。(4)必须满足/(x)=-/(-x)或/(x)=/(-x),当然/(x)=/(-x)也等价于心心)=。或需…心。另作讨论)。2.函数奇偶性的一般重要性质函数奇偶性是函数的一大重要性质，更是高考函数部分的复习重点，知识面广，然而很多同学在复习时只引导学生抓住奇偶函数的定义及图象的对称性质。其实，仔细总结一下，函数的奇偶性之中还存在许多重要性质及一些特殊结论。只要我们注意挖掘一定能找出帮助我们解答问题的方法來。(1)函数的奇偶性定义变形：对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,
4、①若/(x)=-/(-x)或/⑴+/(-x)=o或上乩=-1(/(兀)=0另作讨论)，则称/⑴为奇函数。②若/(x)=/(-%)^/(x)-/(-x)=O或丿虫=1(f(x)=0另作讨论)，则称畑为/(-兀)偶函数。特别注意的是：函数定义域关于原点对称是判断函数奇偶性的必要条件，而非充分条件。例1・若对一切实数x、y,函数都满足/(x-y)=/(x)-/(y)，且/(O)hO,试判断函数的奇偶性.【分析】：根据已知条件直接讨论/(兀)的奇偶性，则需要证明/(%)=/(-%)或/(x)=-/(-x)或/(x)h±/(-朗，这就要利用条件取特殊值•另一方而
5、若能通过取特殊值求tBf(x),则/(兀)的奇偶性也就一口了然。【解析】法一：令y=-1,得/(-%)=/(x)-/(-l)令=得/(1)=/⑴y(i)=M(i)『于是/⑴=0或/(1)=1若/(1)二0,令兀二0』二1,贝lJ/(0)=/(0)./(1)=0(与条件/(0)工0矛盾)故/(D=l令"尸_1,有/⑴=/(-1)./(-1),即/(—1)—1故/(1)=1或/(1)=一1若/(1)=-1,由/[0«(-1)]=/(0)./(-1),即/(0)=-/(0)得/(0)=0(与条件/(0)工0矛盾)故/(-1)=1于是/(-x)=/(x)./(
6、-l)=/(x)故于(兀)是偶函数法二:令y二0,有/(0)=/(x)./(0)故f(x)=1所以函数/(兀)为偶函数⑶。例2.若实数集R上的函数于(兀)满足f(x+y)=f(x)+f(y)，试判断函数的奇偶性.【解析】x=0,y=l,有f(O+l)=f(O)+f(l)故/(0)=1再令尸一兀得/(0)=/(x)+/(-%)即/(x)+/(-x)=0故函数.f(x)为奇函数.⑵函数奇偶性的运算性质若存在两个有意义的函数，且存在公共的定义域关于原点对称，则在公共定义域内存在如下运算性质：①奇函数+奇函数二奇函数②偶函数+偶函数二偶函数③奇函数+偶函数二非
7、奇非偶函数④奇函数X奇函数二偶函数⑤奇函数X偶函数二奇函数⑥偶函数X偶函数二偶函数特别注意：任何一个非奇非偶函数均可以写成一个奇函数与一个偶函数之和⑷。例6.假定④⑤⑥所考虑的函数都是在定义在(-/,/)内，并加以证明.【证明】设£(兀)、£(兀)为偶函数,gi(X)、g2(x)为奇函数，记f(x)-g(x)=(f-g)(x)曲假定可知，兀和-x都在函数的定义区间(/,-/)内.④T(gi•g2)(一兀)=gi(-X)•S1(一兀)=[-gl(X)][-&2(朗]二g
8、COg2(兀)=(g「g2)(X)•:g
9、⑴它2(兀)是偶函数即奇函数X奇函数二偶函
10、数④•・•（£•g]）（-兀）=fl（一x）•gi（-兀）•:/](x)・g
11、(x)为奇函数•
