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《函数奇偶性在解题中的应用xiangjie》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、函数奇偶性在解题中的应用徐辉函数的奇偶性是函数的重要性质Z—,也是LI常考试和高考中数学的璽点和热点内容Z-。它应用广泛，在高屮数学的各个分支屮都有着极为重要的应用，在解题过程屮如果应用的好，常能使难题变易，繁题变简，起到事半功倍的效果。i.用于求值例1：已知奇函数勾，则解：因勾为奇函数,所以对任意疋盘，都有成立.令“0,则有*^二一如亠皿"，从而可得气"；令Z=1,则冇/(-D=-/CD<=>/(-1)+/(0=00lJo=/(-D+/0=[<%+«a+di■'+ai•=2(O]+4
2、十…十吗审)注：此解利川了若函数刃是
3、奇函数，则对定义域内的任意工，都冇这一性质，特别地，当o在定义域内吋,必有虫2.用于比较大小例2.己知偶函数")在区间【间上单调递减，试比较几以几心几习的大小.解：因为是偶两数，所以/rD=/®./(-/i)=/Qr>/：-3=/O,故此题只需比较JXDJEJO的人小即可.又因在区间2】上单调递减，而■习且15<5所以/o>/w>/(5)故/ei)>/e^>/e5)注：此解利用了若函数孑幺)是偶函数，则対定义域内的任意X,都有这•性质.当然此题也可利用偶函数图象关于y轴对称这-性质，首先得到在区间［-久-H是单调递增的，然
4、后再用单调性进行求解.3・用于求最值例3.如果奇函数在区间［3,7】上是增函数且最小值为5,那么在区间卜7,・3】上是()A.增函数且最小值为・5B.增函数且最大值为・5C.减函数且最小值为-5D.减函数且最大值为-5解：由几0在区间［3,7】上是增函数且最小值为5,冇乂心是奇两数，而奇函数的图象关于原点对称，故有在卜7,上也是增函数，且当x=-3时，函数取得最人值/卜恥一/㈤"，,故选B.注:此解利用了奇函数图象关于原点对称这一性质.4-用于求参数的值/«=例牛已知函数WZ)是奇函数,又f(i)=2,f(2)<3，求a、
5、b>c的值.解：rti^w是奇函数，知f(-x)=-f(x),从而乂由f(i)=2,矢]bl+c艮卩一bx+c=・(bx+c),c=-c,/•c=o.得a+i=2b①，^±1<3塑<3而由f(2)<3,知42十卞，得"②山①②可解得一ib=itc=o.注：木题从函数的奇偶性入手，利用函数的思想建立方程或不等式，组成混合组，最终使问题得以解决当然此题也可采用収特殊值的方法得到C的值，如由f(-l)=-f(l),可得5・用于求函
6、数的解析式例5.已知定义在(一8,+8)上的函数f(x)的图像关于原点对称，且当x>o时，f(x)=x2-2X+2,求函数f(X)的解析式。解：当XVO日寸，一X>O,故f(—x)=(—x)2—2(—X)+2=X?+2X+2因函数f(X)的图像关于原点对称，故函数f(X)为奇函数，于是f(—x)=—f(x),从而当XVO时，f(x)=—f(—x)=-(X2+2X+2)=—X2—2X—2,乂当x=o时,f(o)=f(—o)=—f(o),从而f(o)=o,H-2x4-2,当aO/(«)=•0w当"0因此f(x)在(・8,+8)
7、上的解析式是注：⑴若XR在奇函数的定义域内，贝康图像必过原点；(2)lh奇偶函数在原点一侧的解析式，必能求得它在原点另-•侧的解析式，基本思想是通过“一X”实现转化：(3)容易漏求当x=o时的解析式(前提是指0在定义域内)•6.用于讨论函数的单调性例6.试讨论函数f(x)=嬴的单调性.解：易知f(x)为(-8,0)U(0,+8)上的奇函数，因此可先讨论f(x)在(0,+°°)±的单调性，再根据奇函数的图像关于原点对称这一性质得到f(x)在(-8,0)上的单调性.设斗忑且石£可则-mg-可)卜三］=(岭-①若则屿-可U0为巧
8、^>0②若2=禹<号即/®-故f(x)在(0,2］上单调递减;jq—斥<0再号一为号a0(理-召)•竺兰<0所以硒，即血)一怒)"，故f(x)在(2,+8)单调递增.又因f(x)为(-8,0)U(0,+8)上的奇函数，其图像关于原点对称故f(x)在卜2,0)和(0,2］上单调递减,在(-OO,2)和(2,+OO)单调递增.注：利用函数的奇偶性讨论函数的单调性，只需讨论原点左或右单侧的单调性，然后利用对称性写出另一侧的单调性即可.7-用于判断函数奇偶性2例7•已知函数2*-1是偶函数，且不恒等于O,则/W()A.是奇函数B.
9、是偶函数C.可能是奇函数也可能是偶函数D.不是奇函数也不是偶函数心22^+1解：令沪-l才-1,一亠■一X2^4-12^+12*4-1.1+21Ag(^+g(-r)=—+—=—+^=—+—=0则k所以&是奇函数，乂网是偶*1数，因此f(x)是奇函数，故选A。注:一般地，在公共的定义域内，我们有:奇函数土
