资源描述：
《浅谈函数奇偶性的判别方法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、浅谈函数奇f禺性的判另lj方法摘要：判定函数f(x)的奇偶k一般采诂定义判定，但［吏用该法判定一些较复朵函数奇偶性则易出错，为此应向学生介绍定理。关键词：解题教学；函数；中学数学教学一般的，判定函数f(x)的奇偶性都采用定义判定。这种方法，对判定一些简单函数的奇偶性是非常有效的，但对一些较复杂的函数奇偶性判定就易出错。如在解下例时，就有学生这样做：判定函数/⑴=>0)的奇偶性。ci2解：•••/(兀)的定义域是4=(xIxe7?且xH0},又f(-x)=-x(11)12)(11[l-a'x2x，•••/(-兀)工±/(小故/©
2、)是非奇非偶函数。7错了！其实f(x)是偶函数，因为:—Xf11>=X(axr[l-a'x2丿12丿⑴⑵3-1+11、2-1=f(x)学生出错的原因就是由于没有掌握⑴(2)(3)这三步的技巧变形，致使变形不恰当而造成判断失误。类似这样的错谋，在学生中常常出现，学生为此也感到困惑，不知道怎样变形才恰到好处，尤其是在变形屮要涉及到技巧问题，往往就更难把握好。判断函数的奇偶性是在未知其结果的情况下进行的，因而用定义判定时，变形的目的性不强，没有固定的变形方法，学生对自己所得结果也就半信半疑，不敢定论，怕在变形中出了问题或变形不恰当，
3、尤其是遇到一个非奇非偶函数的判定更是如此。定理:设f(x)的定义域为A,方程f(-x)=f(x)(或f(-x)=-f(x))的解集为N,则f(x)为偶函数(或奇函数)的充要条件是A二N。证明：充分-A=N性：・•.任意X。w人贝吹o丘N,即/(―兀。)=/(x0)(或/(一兀。)=-/(x0)),/./(x)是偶函数(或奇函数)必耍性：/(兀)为偶函数(或奇函数)・••对任意%gA,
4、］丄+丄］.定理可知，判断函数的奇偶性，只需要判定方程匕T2丿&T2丿f(_x)=f(x)(或f(-x)-f(x))的解集与函数・・・兀工0,.・.上述方程可化为：上一_-=—+即匕匚=_1恒成立，ax-l2ax-l2ax-1/.方程f(—Q=/⑴的解集是N={xxeRh.x丰0}由A=MU/(x)是偶函数。f(x)的定义域是是否相等即可，这样，用本定理判定函数的奇偶性，就不会涉及到技巧变形。如前例用定理判定就可以这样进行：解：从上看出：用肚理判肚函数的奇偶性，不但不涉及技巧变形，而且思路清晰，目的十分明确，可行性强，有章可
5、循，学生易掌握。因此，有必耍向学生介绍定理。为了进一步说明木定理的优越性，特举两例供同行们比较。判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)=logf；(/x+sin(-x)一cos(-x)2+sinx-cosx方程/(一兀)=/(兀)的解集是N={xIsinx=cosx=—}由NH7?得知/(兀)不是偶函数，同样由方程f(-x)=-f(x)得其解集是N二{x
6、cosx二-1}・由N丰R知f(x)不是奇函数，综合知f(x)是非奇非偶函数。例2讨论函数f(x)二竺乞(cdHbc,chO)的奇偶性.cx+d解：・・•f(x)的定义域A二
7、{x
8、cxH-d,xgR}+1+x)(a>0,aHl)(2)f(x)二1+sinx+cosx2+sin兀一cosxlog“(J(-x)2+1-x)=loga(Vx2+1+x),即-X二X解：(l)vf(x)的定义域是一切实数,即A=R,由方程f(-X)=f(x)得故方程f(-X)二f(x)的解集N={0}・ftlAhN矢口f(x)不是偶函数，又ft!方程f(-x)=-f(x),得lOg“(J(-兀尸+1一兀)=一10g“(V%2+1+X),即厶$+1一％=,——，化简得/+1-X?=1.丁兀？+1+兀・•・方程f(-X)二-f
9、(x)的解集N二R。由A二N知f(x)为奇函数。(2)vf(x)的定义域是一切实数，即A二R,由方程f(-x)=f(x)得1+sin(-x)+cos(-x)_1+sinx+cosx.•.当dHO时，f(X)的定义域不是关于原点O对称的区间,所以f(x)是非奇非偶函数;当*0时，由方程f(-x)=f(x)得土^=竺乞，-exCXU
10、Jax-h=ax+/?,(xH0),b=0,这与beHad矛盾。故f(-x)=f(x)无解。itl方程f(-x)=-f(x)得二_ax+b,即_ax+b二ax+b(xH0),-cxexax=0(xh0
11、)・(1)当aH0时，ax二0无解，即f(-x)=-f(x)无解;(2)当a=0时ax=0的解集N二{x
12、xeR且x工0},乂-N={xxeR且兀H0},.・.由A=N^f(x)为奇函数。综合上述可知：当d=a=0时，f(x)为奇函数，其他情况为非奇非偶函数。由上两例可知，
