弹性力学 第二讲 平面问题的基本理论

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1、第二讲平面问题的基本理论本讲将系统地平面问题的基本理论－基本方程和边界条件，及两种基本解法，是弹性力学中最具典型性和代表性的内容，是后续内容学习的基础。要求掌握的内容如下：1、两类平面问题的定义；2、关于一点应力状态的分析；3、平面区域内的平衡微分方程、几何方程与物理方程；4、平面边界上的应力和位移边界条件的建立，及圣维南原理的应用；5、按位移求解方法和按应力求解方法；本讲学习指南为了牢固地理解和掌握平面问题的基本理论，要求做到：1、清楚地了解上述有关问题的提出与分析的方法；2、自己动手推导公式，以加深理解；3、及时对内容进行总结，掌握其要点；本章学习指南

2、平面应力问题与平面应变问题平面问题的平衡微分方程平面问题中的一点应力状态分析平面问题的几何方程与刚体位移平面问题的物理方程平面问题的边界条件圣维南原理及应用按位移法求解平面问题按应力求解平面问题及相容方程常体力情况下的简化与应力函数主要内容§2.1平面应力与平面应变问题任何一个弹性体是空间物体，外力为空间力系。实际的弹性力学问题都是空间问题。空间问题的简化与近似：当弹性体具有特殊形状、承受特殊的外力与约束时，可进行简化，使得分析与计算工作量大大减少，所得结果仍然可以满足工程精度要求。平面问题哪些问题可简化为平面问题？1、平面应力问题平面应力问题条件：很薄的

3、等厚度薄板，厚度为h远远小于结构另外两个方向的尺度。其所受体力、面力和约束均平行于板面，即只是Oxy面内的量，并沿厚度方向不变。薄板的两个表面不受任何外力和约束的作用。1、平面应力问题构件几何特征：很薄的等厚度薄板。厚度为h远远小于结构另外两个方向的尺度。薄板的中面为平面。表面面力边界条件：表面不受外力作用外力与约束：其所受体力、面力和约束均平行于中面Oxy面内，并沿厚度方向Oz不变。而且薄板的两个表面不受外力作用。因此应力沿厚度方向不变。因此只剩下Oxy面内的三个应力分量，且只是坐标x,y的函数，沿厚度方向Oz不变，即应力分量分布特点：由于板很薄，外力沿

4、厚度均匀分布，同时应力沿厚度还是连续分布的，因此应力分量也沿厚度均匀分布，所以板中各点均有：1、平面应力问题应变分量分布特点：应变分量也只是坐标x,y的函数，沿厚度方向Oz不变。且gzx=gzy=0，但ez≠0，这表明薄板变形时，两底面将发生畸变。但是由于平板很薄，这种畸变也是很小的。1、平面应力问题平面应力问题小结：1、平面应力问题，就是只有平面应力分量（sx，sy和txy）存在，且仅为x、y的函数的弹性力学问题。2、厚度较薄的浅梁和深梁、受上部荷载及自重的墙、平板坝的平板支墩等，都属于平面应力问题。2、平面应变问题平面应变问题条件：弹性体为等截面的很长

5、柱体，体力、面力和约束条件均平行于横截面且不沿长度方向变化，即只有Oxy平面内的体力、面力和约束，且沿z方向不变化。2、平面应变问题构件几何特征：具有很长纵向轴的柱形体，横截面大小和形状沿轴线长度不变位移失量分布特点：只沿x和y方向移动，沿轴线方向位移为0，即u=u(x,y)v=v(x,y)w=0外力与约束：体力、面力和约束与纵向轴垂直，即平行于横截面，并且沿长度不变；柱体的两端受固定约束；2、平面应变问题应变分量分布特点：应变分量为坐标x,y的函数，沿z方向为0，即ez=gxz=gyz=0，只剩下oxy平面内的三个应变分量。应力分量分布特点：应力分量也是

6、坐标x,y的函数，沿z方向的切应力为0，即txz=tyz=0。由于沿z方向的伸缩要受到约束，故sz≠0。2、平面应变问题平面应变问题小结：1、平面应变问题，就是只有平面应变分量（ex，ey和gxy）存在，且仅为x、y的函数的弹性力学问题。2、挡土墙、很长的管道和隧洞问题，尽管不是无限长，但对于离开两端较远处，可按平面应变问题来分析计算，结果在工程上是可用的。平面问题的总结名称平面应力问题平面应变问题未知量已知量未知量已知量应力sx、sy、txysz=txz=tyz=0sx、sy、txysz≠0txz=tyz=0应变ex、ey、gxyez≠0gxz=gyz=

7、0ex、ey、gxyez=gxz=gyz=0位移u、vw≠0u、vw=0外力体力、面力和约束作用于oxy面内，且沿板厚均布体力、面力和约束作用于oxy面内，且沿z轴不变形状等厚度薄板等截面长柱体平面问题的总结平面问题特点：1、基本未知量为8个，均为平面（oxy面）内的物理量；2、所有未知量仅是x和y两个变量的函数；3、相对于空间问题，其基本物理量、基本方程均减少，使得它比一般空间问题简单得多；4、主要有两类：平面应力、平面应变例题例1：（本章习题2－1）如果某一问题中，sz＝tzx＝tzy=0，只存在平面应力分量sx，sy和txy，且它们不沿z方向变化，仅

8、为x、y的函数，试考虑此问题是否就是平面应力问题？例2：（本章习题