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《2018年秋高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算 3.1.5 空间向量运算的坐标表示学案 新人教A版选修2-1》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、3.1.5 空间向量运算的坐标表示学习目标：1.掌握空间向量运算的坐标表示，并会判断两个向量是否共线或垂直．(重点)2.掌握空间向量的模，夹角公式和两点间距离公式，并能运用这些公式解决简单几何体中的问题．(重点，难点)[自主预习·探新知]1．空间向量运算的坐标表示设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，空间向量的坐标运算法则如下表所示：运算坐标表示加法a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)减法a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)数乘λa＝(λa1，λa2，λa3)
2、，λ∈R数量积a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b32.空间向量的平行、垂直、模与夹角公式的坐标表示设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则平行(a∥b)a∥b(b≠0)⇔a＝λb⇔垂直(a⊥b)a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a，b均为非零向量)模
3、a
4、＝＝夹角公式cos〈a，b〉＝＝思考：若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a∥b一定有＝＝成立吗？[提示] 当b1，b2，b3均不为0时，＝＝成立．3．向量的坐标及两点间的距离公式在空间直
5、角坐标系中，设A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则(1)＝(a2－a1，b2－b1，c2－c1)；(2)dAB＝
6、
7、＝.[基础自测]1．思考辨析(1)若a＝(1，－2,1)，a＋b＝(－1,2，－1)，则b＝(－2,4，－2)．( )(2)若a＝(1,2,0)，b＝(－2,0,1)，则
8、a
9、＝
10、b
11、.( )(3)若a＝(0,0,1)，b＝(1,0,0)则a⊥b.( )(4)在空间坐标系中，若A(1,2,3)，B(4,5,6)，则＝(－3，－3，－3)．( )[答案] (1)
12、√ (2)√ (3)√ (4)×2．已知向量a＝(3，－2,1)，b＝(－2,4,0)，则4a＋2b等于( )A．(16,0,4) B．(8，－16,4)C．(8,16,4)D．(8,0,4)D [4a＝(12，－8,4)，2b＝(－4,8,0)，∴4a＋2b＝(8,0,4)．]3．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k＝( )【导学号：46342154】A．1 B．C． D．D [ka＋b＝(k－1，k,2)，2a－b＝(3,2，－2
13、)，且(ka＋b)·(2a－b)＝3(k－1)＋2k－4＝0，解得k＝.]4．若点A(0,1,2)，B(1,0,1)，则＝__________，＝__________________.(1，－1，－1) [＝(1，－1，－1)，
14、
15、＝＝.][合作探究·攻重难]空间向量的坐标运算 (1)若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则x＝________.(2)已知O是坐标原点，且A，B，C三点的坐标分别是(2，－1,2)，(4,5，－1)，
16、(－2,2,3)，求适合下列条件的点P的坐标；①＝(－)；②＝(－)．[解析] (1)c－a＝(0,0,1－x)，2b＝(2,4,2)，由(c－a)·2b＝－2得2(1－x)＝－2，解得x＝2.[答案] 2(2)＝(2,6，－3)，＝(－4,3,1)．①＝(－)＝(6,3，－4)＝，则点P的坐标为.②设P(x，y，z)，则＝(x－2，y＋1，z－2)．∵＝(－)＝，∴解得x＝5，y＝，z＝0，则点P的坐标为.[规律方法] 1.一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标．2．在
17、确定了向量的坐标后，使用空间向量的加减、数乘、数量积的坐标运算公式进行计算就可以了，但要熟练应用下列有关乘法公式：(1)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；(2)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.[跟踪训练]1．已知a＝(2，－1，－2)，b＝(0，－1,4)．求：(1)a＋b；(2)a－b；(3)a·b；(4)2a·(－b)；(5)(a＋b)·(a－b)．[解] (1)a＋b＝(2，－1，－2)＋(0，－1,4)＝(2＋0，－1－1，－2＋4)＝(2，－2,2)．(2)a－b＝(2，－1，－
18、2)－(0，－1,4)＝(2－0，－1－(－1)，－2－4)＝(2,0，－6)．(3)a·b＝(2，－1，－2)·(0，－1,4)＝2×0＋(－1)×(－1)＋(－2)×4＝－7.(4)∵2a＝(4，－2，－4)，∴(2a)·(－b)＝(4，－2，－4)·(0,1，－4)＝4×0＋(－2)×1＋(－4)×(－4)＝14.(5)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝4＋1＋4－(0＋1＋16)＝－8.利用向量的坐标运算解决平行、垂直问题 已知空间三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,
