2018-2019学年高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.4 2.4.2 抛物线的几何性质学案 苏教版选修2-1

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1、2.4.2　抛物线的几何性质学习目标：1.掌握抛物线的简单几何性质．(重点)2.会用抛物线的几何性质处理简单问题．(难点)3.直线与抛物线的公共点问题．(易错点)[自主预习·探新知]教材整理1　抛物线的几何性质阅读教材P52表格的部分，完成下列问题．类型y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)图象性质焦点FFFF准线x＝－x＝y＝－y＝范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Rx∈R，y≥0x∈R，y≤0对称轴x轴y轴顶点O(0,0)离心率e＝1开口方向向右向左向上向下1．判断

2、(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)抛物线是中心对称图形．(　　)(2)抛物线的范围是x∈R.(　　)(3)抛物线是轴对称图形．(　　)(4)过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦长是p.(　　)(5)抛物线x2＝2py(p＞0)上任意一点P(x0，y0)到其焦点的距离是x0＋.(　　)[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)×2．若椭圆＋＝1的左焦点在抛物线y2＝2px(p＞0)的准线上，则p＝________.[解析]　由椭圆标准方程知a2＝4，b2＝3，所以c2＝a2－b2＝1，所以椭圆的左焦点为(

3、－1,0)，因为椭圆左焦点在抛物线y2＝2px(p＞0)的准线上，所以－＝－1，故p＝2.[答案]　2教材整理2　抛物线的焦点弦、通径阅读教材P52例1上面的部分，完成下列问题．抛物线的焦点弦即为过焦点F的直线与抛物线所成的相交弦．弦长公式为AB＝x1＋x2＋p，在所有的焦点弦中以垂直于对称轴的焦点弦弦长最短，A0B0＝2p，称为抛物线的通径．1．过抛物线y2＝4x的焦点F做垂直于抛物线对称轴的直线，交抛物线于A，B两点，则线段AB的长为________.【导学号：71392097】[解析]　易知线段AB为抛物线的通径

4、，所以AB＝4.[答案]　42．如图242，过抛物线x2＝－4y的焦点作直线垂直于y轴，交抛物线于A，B两点，O为抛物线的顶点，则△OAB的面积是________．图242[解析]　F(0，－1)，将y＝－1代入得xA＝2，∴AB＝4，∴S△OAB＝×4×1＝2.[答案]　2[合作探究·攻重难]依据抛物线的几何性质求抛物线标准方程　(1)已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为________．(2)已知抛物线的

5、焦点F在x轴正半轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A，B两点，O是坐标原点，若△OAB的面积等于4，则此抛物线的标准方程为________.【导学号：71392098】[自主解答]　(1)∵双曲线C1：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，∴＝＝2，∴b＝a，∴双曲线的渐近线方程为x±y＝0，∴抛物线C2：x2＝2py(p＞0)的焦点到双曲线的渐近线的距离为＝2，∴p＝8.∴所求的抛物线方程为x2＝16y.(2)不妨设抛物线的方程为y2＝2px，如图所示，AB是抛物线的通径，∴AB＝2p，又OF＝p，∴S△O

6、AB＝·AB·OF＝·2p·p＝p2＝4，故p＝2.[答案]　(1)x2＝16y　(2)y2＝4x[名师指津]　利用抛物线几何性质可以解决的问题(1)对称性：解决抛物线的内接三角形问题.(2)焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题.(3)范围：解决与抛物线有关的最值问题.(4)焦点：解决焦点弦问题.[再练一题]1．抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x2＋16y2＝144的短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，则抛物线的标准方程为________．[解析]　椭圆的方程可化为＋＝1，其短轴在y轴上，∴抛物线的对

7、称轴为y轴，设抛物线的标准方程为x2＝2py或x2＝－2py(p＞0)，由抛物线焦点到顶点的距离为3得＝3，∴p＝6.∴抛物线的标准方程为x2＝12y或x2＝－12y.[答案]　x2＝12y或x2＝－12y与抛物线有关的最值问题　求抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的最小距离.【导学号：71392099】[精彩点拨]　本题的解法有两种：法一，设P(t，－t2)为抛物线上一点，点P到直线的距离为d＝，再利用二次函数求最小距离；法二，设直线4x＋3y＋m＝0与直线4x＋3y－8＝0平行且与抛物线相切，求出m的值

8、后，再利用两平行线间的距离公式求最小距离．[自主解答]　法一：设P(t，－t2)为抛物线上的点，它到直线4x＋3y－8＝0的距离d＝＝＝＝＝＋.∴当t＝时，d有最小值.法二：如图，设与直线4x＋3y－8＝0平行的抛物线的切线方程为4x＋3y＋m＝0，由消去y得3x2－4x－m＝0，∴Δ＝16＋12m＝0，∴m＝－.∴最小距离为＝＝