2020版高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.1.2 量词学案（含解析）新人教B版选修2-1

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1、1.1.2　量　词学习目标　1.理解全称量词与存在量词的含义.2.理解并掌握全称命题和存在性命题的概念.3.能判定全称命题和存在性命题的真假并掌握其判断方法．知识点一　全称量词、全称命题1．概念短语“所有的”“任意一个”在陈述中表示所述事物的全体，在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．含有全称量词的命题，叫做全称命题．2．表示将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示．那么，全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x)，读作“对任意x属于

2、M，有p(x)成立”．3．全称命题的真假判定要判定全称命题是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)成立，但要判定全称命题是假命题，只需举出一个x∈M，使得p(x)不成立即可．知识点二　存在量词、存在性命题1．概念短语“存在一个”“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．含有存在量词的命题，叫做存在性命题．2．表示存在性命题“存在M中的元素x，使p(x)成立”可用符号简记为∃x∈M，p(x)，读作“存在M中的元素x，使p(x)成立”．3．存在性命题的真假判定要

3、判定一个存在性命题是真命题，只需在集合M中找到一个元素x，使p(x)成立即可，否则这一存在性命题就是假命题．1．“有些”“某个”“有的”等短语不是存在量词．(　×　)2．全称命题一定含有全称量词，存在性命题一定含有存在量词．(　×　)3．存在性命题中的量词一定不能省略．(　√　)4．全称量词的含义是“任意性”，存在量词的含义是“存在性”．(　√　)题型一　全称命题与存在性命题的辨析例1　判断下列命题是全称命题还是存在性命题．(1)梯形的对角线相等；(2)存在一个四边形有外接圆；(3)二次函数都存在零点；(4)过两条平

4、行线有且只有一个平面．考点　全称命题与存在性命题的综合问题题点　全称命题与存在性命题的辨析解　命题(1)完整的表述应为“任意一个梯形的对角线相等”，很显然为全称命题．命题(2)为存在性命题．命题(3)完整的表述为“所有的二次函数都存在零点”，故为全称命题．命题(4)是命题“过任意两条平行线有且只有一个平面”的简写，故为全称命题．反思感悟　判断一个命题是全称命题还是存在性命题的关键是看量词．由于某些全称命题的量词可能省略，所以要根据命题表达的意义判断，同时要会用相应的量词符号正确表达命题．跟踪训练1　下列命题中，是全称

5、命题的是________，是存在性命题的是________．(填序号)①正方形的四条边相等；②有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形；③正数的平方根不等于0；④至少有一个正整数是偶数．考点　全称命题与存在性命题的综合问题题点　全称命题与存在性命题的辨析答案　①②③　④题型二　全称命题与存在性命题的真假判断例2　判断下列命题的真假：(1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P；(2)存在一个函数，既是偶函数又是奇函数；(3)每一条线段的长度都能用正有理数来表示；(4)存在一个实数x，使得等式x2＋x

6、＋8＝0成立；(5)∀x∈R，x2－3x＋2＝0；(6)∃x∈R，x2－3x＋2＝0.解　(1)真命题．(2)真命题，如函数f(x)＝0，既是偶函数又是奇函数．(3)假命题，如边长为1的正方形，其对角线的长度为，就不能用正有理数表示．(4)假命题，方程x2＋x＋8＝0的判别式Δ＝－31<0，故方程无实数解．(5)假命题，只有当x＝2或x＝1时，等式x2－3x＋2＝0才成立．(6)真命题，x＝2或x＝1，都能使等式x2－3x＋2＝0成立．反思感悟　要判断全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中每个元素x，

7、证明p(x)都成立；如果在集合M中找到一个元素x，使得p(x)不成立，那么这个全称命题就是假命题．要判断存在性命题“∃x∈M，p(x)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x，使p(x)成立即可；如果在集合M中，使p(x)成立的元素x不存在，那么这个存在性命题就是假命题．跟踪训练2　判断下列命题的真假：(1)有一些奇函数的图象过原点；(2)∃x∈R,2x2＋x＋1<0.解　(1)该命题中含有“有一些”，是存在性命题．如y＝x是奇函数，其图象过原点，故该命题是真命题．(2)该命题是存在性命题．∵2x2＋x＋1＝22＋≥

8、>0，∴不存在x∈R，使2x2＋x＋1<0.故该命题是假命题．题型三　由含量词的命题求参数例3　对于任意实数x，不等式sinx＋cosx>m恒成立．求实数m的取值范围．解　令y＝sinx＋cosx，x∈R，∵y＝sinx＋cosx＝sin≥－，又∵∀x∈R，sinx＋cosx>m恒成立，∴只要m<－即可．∴所求m的取值范围是(－∞，－)．引申探