通用版2020高考数学一轮复习2.6二次函数讲义文

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1、第六节二次函数一、基础知识批注——理解深一点1．二次函数解析式的三种形式一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)；两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．2．二次函数的图象与性质二次函数系数的特征(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，系数a的正负决定图象的开口方向及开口大小；(2)－的值决定图象对称轴的位置；(3)c的取值决定图象与y轴的交点；(4)b2－4ac的正负决定图象与x轴的交点个数．解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)　f(x)＝ax2＋bx＋c(

2、a<0)　　图象定义域(－∞，＋∞)(－∞，＋∞)值域单调性在上单调递增；在上单调递减在上单调递增；在上单调递减奇偶性当b＝0时为偶函数，当b≠0时为非奇非偶函数顶点对称性图象关于直线x＝－成轴对称图形二、常用结论汇总——规律多一点1．一元二次不等式恒成立的条件(1)“ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a>0，且Δ<0”．(2)“ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a<0，且Δ<0”．2．二次函数在闭区间上的最值设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，闭区间为[m，n]．(1)当－≤m时，最小值为f

3、(m)，最大值为f(n)；(2)当m<－≤时，最小值为f，最大值为f(n)；(3)当<－≤n时，最小值为f，最大值为f(m)；(4)当－>n时，最小值为f(n)，最大值为f(m)．三、基础小题强化——功底牢一点(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)不可能是偶函数．(　　)(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈[a，b])的最值一定是.(　　)(3)a＝1是函数f(x)＝x2－4ax＋3在区间[2，＋∞)上为增函数的充分不必要条件．(　　)答案：(1)×　(2)×　(3)√(二)选一选1．若二次函数y＝2x2＋bx＋c关于y轴对称，且

4、过点(0,3)，则函数的解析式为(　　)A．y＝2x2＋x＋3　　　　　B．y＝2x2＋3C．y＝2x2＋x－3D．y＝2x2－3解析：选B　由题可知函数y＝f(x)为偶函数，则b＝0.又过点(0,3)，则c＝3，故解析式为y＝2x2＋3.2．若函数y＝x2－2tx＋3在[1，＋∞)上为增函数，则t的取值范围是(　　)A．(－∞，1]B．[1，＋∞)C．(－∞，－1]D．[－1，＋∞)解析：选A　函数y＝x2－2tx＋3的图象开口向上，以直线x＝t为对称轴．又函数y＝x2－2tx＋3在[1，＋∞)上为增函数，则t≤1.3．已知函数f(x)＝

5、ax2＋x＋5的图象在x轴上方，则a的取值范围是(　　)A.B.C.D.解析：选C　由题意知即解得a>.(三)填一填4．函数y＝－x2＋4x－2在区间[1,4]上的最小值为________．解析：函数y＝－x2＋4x－2的图象开口向下，对称轴为直线x＝2，所以当x＝4时，y的最小值为－2.答案：－25．已知f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，且其定义域为[a－1，2a]，则y＝f(x)的值域为________．解析：因为f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，所以其定义域[a－1,2a]关于原点对称，所以a－1＝－2a，所以a＝，因

6、为f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，即f(－x)＝f(x)，所以b＝0，所以f(x)＝x2＋1，x∈，其值域为.答案：求二次函数的解析式常利用待定系数法，但由于条件不同，则所选用的解析式不同，其方法也不同.[典例]　已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．[解]　法一：利用二次函数的一般式设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由题意得解得故所求二次函数为f(x)＝－4x2＋4x＋7.法二：利用二次函数的顶点式设f(x)＝a(x－m)2＋n.∵f(2)＝f(－1)，

7、∴抛物线对称轴为x＝＝.∴m＝，又根据题意函数有最大值8，∴n＝8，∴y＝f(x)＝a2＋8.∵f(2)＝－1，∴a2＋8＝－1，解得a＝－4，∴f(x)＝－42＋8＝－4x2＋4x＋7.法三：利用零点式由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)，即f(x)＝ax2－ax－2a－1.又函数有最大值ymax＝8，即＝8.解得a＝－4或a＝0(舍去)，故所求函数解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.[解题技法]　求二次函数解析式的策略[题组训练]1．已知二次函数f(x)的图象的顶点坐标是(－2

8、，－1)，且图象经过点(1,0)，则函数的解析式为f(x)＝________.解析：法一：设所求解析式为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由已知得解得所以所求解析式为f(x)