通用版2020高考数学一轮复习2.7幂函数讲义文

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1、第七节幂函数一、基础知识批注——理解深一点1．幂函数的概念一般地，形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．幂函数的特征(1)自变量x处在幂底数的位置，幂指数α为常数；(2)xα的系数为1；(3)只有一项．2．五种常见幂函数的图象与性质函数特征性质y＝xy＝x2y＝x3y＝xy＝x－1图象定义域RR{x

2、x≥0}{x

3、x≠0}值域R{y

4、y≥0}R{y

5、y≥0}{y

6、y≠0}奇偶性奇奇非奇非偶奇单调性增(－∞，0)减，(0，＋∞)增增增(－∞，0)和(0，＋∞)减公共点(1,1)二、常用结论汇总——规律多一点对于形如f(x

7、)＝x(其中m∈N*，n∈Z，m与n互质)的幂函数：(1)当n为偶数时，f(x)为偶函数，图象关于y轴对称；(2)当m，n都为奇数时，f(x)为奇函数，图象关于原点对称；(3)当m为偶数时，x>0(或x≥0)，f(x)是非奇非偶函数，图象只在第一象限(或第一象限及原点处)．三、基础小题强化——功底牢一点(1)函数y＝2x是幂函数．(　　)(2)当n>0时，幂函数y＝xn在(0，＋∞)上是增函数．(　　)(3)幂函数的图象不经过第四象限．(　　)答案：(1)×　(2)√　(3)√(二)选一选1．已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点，则k＋α＝(　　)

8、A.　　　　　　　　　B．1C.D．2解析：选C　因为f(x)＝k·xα是幂函数，所以k＝1.又f(x)的图象过点，所以α＝，所以α＝，所以k＋α＝1＋＝.2．已知幂函数y＝f(x)的图象经过点，则f(2)＝(　　)A.　　　　　　　　　　B．4C.D.解析：选C　设f(x)＝xα，∵图象过点，∴f(4)＝4α＝，解得α＝－，∴f(2)＝2＝.3．函数y＝x－1的图象关于x轴对称的图象大致是(　　)解析：选B　函数y＝x的图象位于第一象限且为增函数，所以函数图象是上升的，函数y＝x－1的图象可看作由函数y＝x的图象向下平移一个单位得到的(如选项A中的

9、图所示)，将函数y＝x－1的图象关于x轴对称后即为选项B.(三)填一填4．若y＝ax是幂函数，则该函数的值域是________．解析：由已知y＝ax是幂函数，得a＝1，所以y＝x，所以y≥0，故该函数的值域是[0，＋∞)．答案：[0，＋∞)5．函数f(x)＝(m2－m－1)xm是幂函数，且在x∈(0，＋∞)上为增函数，则实数m的值为________．解析：∵f(x)＝(m2－m－1)xm是幂函数，∴m2－m－1＝1，解得m＝－1或m＝2.又f(x)在(0，＋∞)上为增函数，∴m＝2.答案：2[典例]　(1)(2019·赣州阶段测试)幂函数y＝f(x)

10、的图象经过点(3，)，则f(x)是(　　)A．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数B．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数C．奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数D．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数(2)已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)x(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为(　　)A．－3　　　　　　　　B．1C．2D．1或2[解析]　(1)设f(x)＝xα，将点(3，)代入f(x)＝xα，解得α＝，所以f(x)＝x，可知函数f(x)是奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，故选C.(2)∵幂函数f(x)＝(n2＋

11、2n－2)x在(0，＋∞)上是减函数，∴∴n＝1，又n＝1时，f(x)＝x－2的图象关于y轴对称，故n＝1.[答案]　(1)C　(2)B[解题技法]　幂函数y＝xα的主要性质及解题策略(1)幂函数在(0，＋∞)内都有定义，幂函数的图象都过定点(1,1)．(2)当α>0时，幂函数的图象经过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)内单调递增；当α<0时，幂函数的图象经过点(1,1)，且在(0，＋∞)内单调递减．(3)当α为奇数时，幂函数为奇函数；当α为偶数时，幂函数为偶函数．(4)幂函数的性质因幂指数大于零、等于零或小于零而不同，解题中要善于根据幂指数

12、的符号和其他性质确定幂函数的解析式、参数取值等．幂函数，啥模样，幂指坐在肩膀上；图象恒过点(1,1)，单调牢记一象限；正幂递增负幂减，奇偶性质看指数．[题组训练]1.下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的为(　　)A．y＝x－4B．y＝x－1C．y＝x2D．y＝x解析：选A　函数y＝x－4为偶函数，且在区间(0，＋∞)上单调递减；函数y＝x－1为奇函数，且在区间(0，＋∞)上单调递减；函数y＝x2为偶函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增；函数y＝x为奇函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增．2.已知当x∈(0,1)时，函数y＝xp的图

13、象在直线y＝x的上方，则p的取值范围是________．解析：当p>0时，根据题意知p<1，所以0