通用版2020高考数学一轮复习2.11函数与方程讲义文

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1、第十一节函数与方程一、基础知识批注——理解深一点1．函数的零点(1)零点的定义：对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．(2)零点的几个等价关系：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．函数的零点不是函数y＝f(x)与x轴的交点，而是y＝f(x)与x轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个实数.2．函数的零点存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝

2、0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件.3．二分法的定义对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．二、常用结论汇总——规律多一点有关函数零点的结论(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持

3、同号．(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．三、基础小题强化——功底牢一点(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．(　　)(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)<0.(　　)(3)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值．(　　)(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac＜0时没有零点．(　　)(5)若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)·f(b)＜0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点．(　　)答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√(二)选一选1．已知

4、函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：x12345f(x)－4－2147在下列区间中，函数f(x)必有零点的区间为(　　)A．(1,2)　　　　　　　　B．(2,3)C．(3,4)D．(4,5)解析：选B　由所给的函数值的表格可以看出，x＝2与x＝3这两个数字对应的函数值的符号不同，即f(2)·f(3)<0，所以函数f(x)在(2,3)内有零点．2．函数f(x)＝(x－1)ln(x－2)的零点有(　　)A．0个B．1个C．2个D．3个解析：选B　由x－2>0，得x>2，所以函数f(x)的定义域为(2，＋∞)，所以当f(x)＝0，即(x－1)ln(x－2)＝0时，解得x＝1(舍去

5、)或x＝3.3．函数f(x)＝lnx－的零点所在的大致区间是(　　)A．(1,2)B．(2,3)C.和(3,4)D．(4，＋∞)解析：选B　易知f(x)为增函数，由f(2)＝ln2－1＜0，f(3)＝ln3－＞0，得f(2)·f(3)＜0，故函数f(x)的零点所在的大致区间是(2,3)．(三)填一填4．已知2是函数f(x)＝的一个零点，则f[f(4)]的值是________．解析：由题意知log2(2＋m)＝0，∴m＝－1，∴f[f(4)]＝f(log23)＝2＝3.答案：35．若函数f(x)＝ax＋1－2a在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是________．解析：当a

6、＝0时，函数f(x)＝1在(－1,1)上没有零点，所以a≠0.所以函数f(x)是单调函数，要满足题意，只需f(－1)f(1)<0，即(－3a＋1)·(1－a)<0，所以(a－1)·(3a－1)<0，解得

7、点[解析]　(1)解方程法令f(x)＋3x＝0，则或解得x＝0或x＝－1，所以函数y＝f(x)＋3x的零点个数是2.(2)法一：图象法令f(x)＝0得x＝lnx．作出函数y＝x和y＝lnx的图象，如图，显然y＝f(x)在内无零点，在(1，e)内有零点．法二：定理法当x∈时，函数图象是连续的，且f′(x)＝－＝<0，所以函数f(x)在上单调递减．又f＝＋1>0，f(1)＝>0，f(e)＝e－1<0，所以函数有唯一的零点在区