2019-2020年高考数学一轮总复习 14.3 数学归纳法教案 理 新人教A版

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1、2019-2020年高考数学一轮总复习14.3数学归纳法教案理新人教A版典例精析题型一　用数学归纳法证明恒等式【例1】是否存在常数a、b、c，使等式12＋22＋32＋…＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12＝an(bn2＋c)对于一切n∈N*都成立？若存在，求出a、b、c并证明；若不存在，试说明理由.【解析】假设存在a、b、c使12＋22＋32＋…＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12＝an(bn2＋c)对于一切n∈N*都成立.当n＝1时，a(b＋c)＝1；当n＝2时，2a(4b＋c)＝6；当n＝3时，3a(9b＋c)＝19.解方程组解得证明如下：当n＝1时，显然成立；假设n＝

2、k(k∈N*，k≥1)时等式成立，即12＋22＋32＋…＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12＝k(2k2＋1)；则当n＝k＋1时，12＋22＋32＋…＋k2＋(k＋1)2＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12＝k(2k2＋1)＋(k＋1)2＋k2＝k(2k2＋3k＋1)＋(k＋1)2＝k(2k＋1)(k＋1)＋(k＋1)2＝(k＋1)(2k2＋4k＋3)＝(k＋1)[2(k＋1)2＋1].因此存在a＝，b＝2，c＝1，使等式对一切n∈N*都成立.【点拨】用数学归纳法证明与正整数n有关的恒等式时要弄清等式两边的项的构成规律：由n＝k到n＝k＋1时等式左右各如何增减，发生了怎样的

3、变化.【变式训练1】用数学归纳法证明：当n∈N*时，＋＋…＋＝.【证明】(1)当n＝1时，左边＝＝，右边＝＝，左边＝右边，所以等式成立.(2)假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即有＋＋…＋＝，则当n＝k＋1时，＋＋…＋＋＝＋＝＝＝＝，所以当n＝k＋1时，等式也成立.由(1)(2)可知，对一切n∈N*等式都成立.题型二　用数学归纳法证明整除性问题【例2】已知f(n)＝(2n＋7)·3n＋9，是否存在自然数m使得任意的n∈N*，都有m整除f(n)？若存在，求出最大的m值，并证明你的结论；若不存在，请说明理由.【解析】由f(1)＝36，f(2)＝108，f(3)＝360，猜想：

4、f(n)能被36整除，下面用数学归纳法证明.(1)当n＝1时，结论显然成立；(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时结论成立，即f(k)＝(2k＋7)·3k＋9能被36整除.则当n＝k＋1时，f(k＋1)＝(2k＋9)·3k＋1＋9＝3[(2k＋7)·3k＋9]＋18(3k－1－1)，由假设知3[(2k＋7)·3k＋9]能被36整除，又3k－1－1是偶数，故18(3k－1－1)也能被36整除.即n＝k＋1时结论也成立.故由(1)(2)可知，对任意正整数n都有f(n)能被36整除.由f(1)＝36知36是整除f(n)的最大值.【点拨】与正整数n有关的整除性问题也可考虑用数学归

5、纳法证明.在证明n＝k＋1结论也成立时，要注意“凑形”，即凑出归纳假设的形式，以便于充分利用归纳假设的条件.【变式训练2】求证：当n为正整数时，f(n)＝32n＋2－8n－9能被64整除.【证明】方法一：①当n＝1时，f(1)＝34－8－9＝64，命题显然成立.②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时结论成立，即f(k)＝32k＋2－8k－9能被64整除.由于32(k＋1)＋2－8(k＋1)－9＝9(32k＋2－8k－9)＋9·8k＋9·9－8(k＋1)－9＝9(32k＋2－8k－9)＋64(k＋1)，即f(k＋1)＝9f(k)＋64(k＋1)，所以n＝k＋1时命题也成立.根据

6、①②可知，对任意的n∈N*，命题都成立.方法二：①当n＝1时，f(1)＝34－8－9＝64，命题显然成立.②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，f(k)＝32k＋2－8k－9能被64整除.由归纳假设，设32k＋2－8k－9＝64m(m为大于1的自然数)，将32k＋2＝64m＋8k＋9代入到f(k＋1)中得f(k＋1)＝9(64m＋8k＋9)－8(k＋1)－9＝64(9m＋k＋1)，所以n＝k＋1时命题也成立.根据①②可知，对任意的n∈N*，命题都成立.题型三　数学归纳法在函数、数列、不等式证明中的运用【例3】(xx山东模拟)等比数列{an}的前n项和为Sn，已知对任意的n∈

7、N*，点(n，Sn)均在函数y＝bx＋r(b＞0且b≠1，b，r均为常数)的图象上.(1)求r的值；(2)当b＝2时，记bn＝2(log2an＋1)(n∈N*)，求证：对任意的n∈N*，不等式··…·＞成立.【解析】(1)因为点(n，Sn)均在函数y＝bx＋r(b＞0且b≠1，b，r均为常数)的图象上，所以Sn＝bn＋r(b＞0且b≠1，b，r均为常数).当n＝1时，a1＝S1＝b＋r；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝bn＋r－bn－1－r＝(b－1)bn－1.又数列{an}为等比数列，故r＝－1且公比为b.(2