2013年高考数学总复习11-4数学归纳法(理)新人教B版.doc

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1、2013年高考数学总复习11-4数学归纳法(理)新人教B版1.(2011·威海模拟)在用数学归纳法证明“2n>n2对从n0开始的所有正整数都成立”时，第一步验证的n0等于(　　)A．1　　　　B．3　　　　C．5　　　　D．7[答案]　C[解析]　n的取值与2n，n2的取值如下表：n123456…2n248163264…n2149162536…由于2n的增长速度要远大于n2的增长速度，故当n>4时恒有2n>n2.2．(2011·厦门月考、日照模拟)用数学归纳法证明：“(n＋1)·(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)”，从“n＝k到n＝k＋1”左端需增乘的代数式为(　

2、　)A．2k＋1B．2(2k＋1)C.D.[答案]　B[解析]　n＝k时，左端为(k＋1)(k＋2)…(k＋k)；n＝k＋1时，左端为[(k＋1)＋1]·[(k＋1)＋2]…[(k＋1)＋(k＋1)]＝(k＋2)(k＋3)…(k＋k)·(k＋k＋1)·(k＋k＋2)＝2(k＋1)(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)，故左端增加了2(2k＋1)．3．若f(n)＝1＋＋＋＋…＋(n∈N＋)，则f(1)为(　　)A．1B.C．1＋＋＋＋D．非以上答案[答案]　C[解析]　注意f(n)的项的构成规律，各项分子都是1，分母是从1到6n－1的自然数，故f(1)＝1＋＋＋＋.4．某个命题与自然

3、数n有关，若n＝k(k∈N*)时命题成立，则可推得当n＝k＋1时该命题也成立，现已知n＝5时，该命题不成立，那么可以推得(　　)A．n＝6时该命题不成立B．n＝6时该命题成立C．n＝4时该命题不成立D．n＝4时该命题成立[答案]　C[解析]　∵“若n＝k(k∈N*)时命题成立，则当n＝k＋1时，该命题也成立”，故若n＝4时命题成立，则n＝5时命题也应成立，现已知n＝5时，命题不成立，故n＝4时，命题也不成立．[点评]　可用逆否法判断．5．观察下式：1＋3＝221＋3＋5＝321＋3＋5＋7＝421＋3＋5＋7＋9＝52……据此你可归纳猜想出的一般结论为(　　)A．1＋3＋5＋…＋(2n－

4、1)＝n2(n∈N*)B．1＋3＋5＋…＋(2n＋1)＝n2(n∈N*)C．1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝(n＋1)2(n∈N*)D．1＋3＋5＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)2(n∈N*)[答案]　D[解析]　观察可见第n行左边有n＋1个奇数，右边是(n＋1)2，故选D.6．一个正方形被分成九个相等的小正方形，将中间的一个正方形挖去，如图(1)；再将剩余的每个正方形都分成九个相等的小正方形，并将中间的一个挖去，得图(2)；如此继续下去……则第n个图共挖去小正方形(　　)A．(8n－1)个B．(8n＋1)个C.(8n－1)个D.(8n＋1)个[答案]　C[解析]　第1个图挖去1个，第2个图

5、挖去1＋8个，第3个图挖去1＋8＋82个……第n个图挖去1＋8＋82＋…＋8n－1＝个．7．(2011·徐州模拟)用数学归纳法证明命题“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，第二步假设n＝2k－1(k∈N＋)命题为真时，进而需证n＝________时，命题亦真．[答案]　n＝2k＋18．(2010·吉林市检测、浙江金华十校联考)观察下列式子：1＋<，1＋＋<，1＋＋＋<，……，则可以猜想：当n≥2时，有__________________．[答案]　1＋＋＋…＋<(n≥2)[解析]　观察式子左边都是自然数的平方的倒数求和，右边分母为左边的项数，分子为项数的2倍减1，故右边表达式为.

6、9．已知点列An(xn,0)，n∈N*，其中x1＝0，x2＝a(a>0)，A3是线段A1A2的中点，A4是线段A2A3的中点，…An是线段An－2An－1的中点，…，(1)写出xn与xn－1、xn－2之间的关系式(n≥3)；(2)设an＝xn＋1－xn，计算a1，a2，a3，由此推测数列{an}的通项公式，并加以证明．[解析]　(1)当n≥3时，xn＝.(2)a1＝x2－x1＝a，a2＝x3－x2＝－x2＝－(x2－x1)＝－a，a3＝x4－x3＝－x3＝－(x3－x2)＝a，由此推测an＝(－)n－1a(n∈N*)．证法1：因为a1＝a>0，且an＝xn＋1－xn＝－xn＝＝－(xn－

7、xn－1)＝－an－1(n≥2)，所以an＝(－)n－1a.证法2：用数学归纳法证明：(1)当n＝1时，a1＝x2－x1＝a＝(－)0a，公式成立．(2)假设当n＝k时，公式成立，即ak＝(－)k－1a成立．那么当n＝k＋1时，ak＋1＝xk＋2－xk＋1＝－xk＋1＝－(xk＋1－xk)＝－ak＝－(－)k－1a＝(－)(k＋1)－1a，公式仍成立，根据(1)和(2)可知，对任意n∈N*，公式an＝(－)n－1a成立．10．已知正