第4讲全等三角形的性质及判定

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1、第4讲全等三角形的性质及判定（12.1、12.2）一、知识要点1、全等三角形的性质1．全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形．2．全等形的性质：（1）形状相同．（2）大小相等．3．全等三角形的概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．4．全等三角形的表示：　（1）两个全等的三角形重合时：重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角．　（2）如图，和全等，记作．通常对应顶点字母写在对应位置上．5．全等三角形的性质：（1）全等三角形的对应边相等；（2）全等三角形的对应角相等．　　（3）全等三角形的周长、面积相等．6．全等变换：只改变位置，不改变形状和大小的图

2、形变换．平移、翻折（对称）、旋转变换都是全等变换．7．全等三角形基本图形　　翻折法：找到中心线经此翻折后能互相重合的两个三角形，易发现其对应元素旋转法：两个三角形绕某一定点旋转一定角度能够重合时，易于找到对应元素平移法：将两个三角形沿某一直线推移能重合时也可找到对应元素2、全等三角形的判定（1）全等三角形的判定1——边边边公理三边对应相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS”．　“边边边”公理的实质：三角形的稳定性（用三根木条钉三角形木架）．（2）全等三角形的判定2——边角边公理两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”．（3）全等三角形的判定3—

3、—角边角公理两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．简写为“角边角”或“ASA”．（4）全等三角形的判定4——角角边推论　两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等．简称“角角边”“AAS”．（5）直角三角形全等的判定——斜边直角边公理　斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．简写成“斜边直角边”或“HL”．3、判定直角三角形全等的方法选择①一般三角形全等的判定方法都适用；②斜边-直角边公理一般三角形直角三角形条件边角边（SAS）,角边角（ASA）边边边（SSS）,角角边（AAS）斜边、直角边（HL）性质对应边相等、对应角相等、周长相等、面积相等、对应线段（如对应边上的高、

4、中线、对应角平分线）相等备注判定三角形全等必须至少有一组对边相等注意：判定两个三角形全等必须具备的三个条件中“边”是不可缺少的，边边角（SSA）和角角角（AAA）不能作为判定两个三角形全等的方法。6/6技巧平台：证明两个三角形全等时要认真分析已知条件，仔细观察图形，明确已具备了哪些条件，从中找出已知条件和所要说明的结论的内在联系，从而选择最适当的方法。根据三角形全等的条件来选择判定三角形全等的方法，常用的证题思路如下表：已知条件寻找的条件选择的判定方法两角夹边或任一边ASA或AAS一角及其对边任一角AAS一角及邻边角的另一邻边或边的另一邻角或边的对角SAS或ASA或AAS两边夹角或另

5、一边或直角SAS或SSS或HL4、证明关于三角形全等的步骤：（1）读题：明确题中的已知和求证；（2）要观察待证的线段或角，在哪两个可能全等的三角形中（3）分析要证两个三角形全等，已有什么条件，还缺什么条件。有公共边的，公共边一定是对应边，有公共角的，公共角一定是对应角，有对顶角，对顶角也是对应角（4）先证明缺少的条件（5）再证明两个三角形全等（要符合书写步骤：先写在某两个三角形中、然后写条件，再写结论）二、例题讲解例1.（SSS）如图，已知AB=AD，CB=CD,那么∠B=∠D吗？为什么？分析：要证明∠B=∠D，可设法使它们分别在两个三角形中，再证它们所在的两个三角形全等，本题中已有

6、两组边分别对应相等，因此只要连接AC边即可构造全等三角形。解：相等。理由：连接AC，在△ABC和△ADC中，△ABC≌△ADC（SSS），∠B=∠D（全等三角形的对应角相等）点评：证明两个角相等或两条线段相等，往往利用全等三角形的性质求解。有时根据问题的需要添加适当的辅助线构造全等三角形。A例2.（SSS）如图，△ABC是一个风筝架，AB=AC,AD是连接A与BC中点D的支架，证明：AD⊥BC.分析：要证AD⊥BC，根据垂直定义，需证∠ADB=∠ADC,而∠ADB=∠ADC可由△ABD≌△ACD求得。证明：D是BC的中点，BD=CDBDC在△ABD与△ACD中，△ABD≌△ACD(S

7、SS)，∠ADB=∠ADC（全等三角形的对应角相等）A∠ADB+∠ADC=（平角的定义）ED∠ADB=∠ADC=，AD⊥BC（垂直的定义）6/6例3.（SAS）如图，AB=AC,AD=AE,求证：∠B=∠C.CB分析：利用SAS证明两个三角形全等，∠A是公共角。证明：在△ABE与△ACD中,△ABE≌△ACD(SAS),∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）例4.（SAS）如图，已知E,F是线段AB上的两点，且AE=BF,AD=BC,∠A=∠B,求证：DF=