试题研究_一道高考试题的解法研究与解题感悟

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1、形式新颖内涵丰富道高考试题的解法研究与解题感悟张琥（江苏省泗阳中学数学教育实验室）2009年高考数学安徽卷理科第14题如下:给定两个氏度为1的平面向SOA^OB,它们的夹角为120°,如图1所示，点C在以O为圆心的圆弧AB上变动，若OC=xOA+yOB,其屮x、yWR,则x+y的最人值是・—、解法研究本题是以圆为载体、向量为背景的最值问题，由于平面向量是融数形于一-体，是代数、平面几何、三角函数、解析儿何等知识的交会点，因而解决此类问题主要是根据向量的数和形的双重特征,并以此为切入点寻求已知与未知之间的内在联系，探究解题

2、的思路和方法.题中选用向量页、西为基底，把平面内的任一向量况表示成況=兀OA^yOB,其屮x^yeR,运用化归思想，将向量形式转化为代数中的数量关系，建立关于x+y的函数关系式，从函数的角度来解决问题.解法1由题意知兀》0,歹》0。由OC=xOA+yOB,得OC^=(xVA+yOB)2=x2OA^+ZxyOA丙+)，帝。因^

3、o4

4、=

5、ob

6、=

7、5c

8、=i,zAOB=nooAOB=--,所以1=x2+y2-xy•卜-面给出求x+y最人值的儿种思路。思路1：基木不等式法。因为(x+y)2>4xy,所以］=(x+y)2-3

9、xy>(x+y)2-—(x+y)2,即丄(x+y)2<1,'44*故x+y<2当且仅当x=y=l吋収等号，所以x+y的最大值为2.思路2：代数换元法。令x=a+b,y=a-b,代入l=x2+y2+xy,得1—(6F+b)~+(a—I?)?—(ci+b)(a—b),化简得a2+3b2=1,故/<1,^<1,x+y=2a<2・当且仅当a=1,b=0,即x=y=l时,x+y取最大值为2.思路3:三角换元法.1=*+尸一与=（兀一*刃2+（*y）2.令x一丄y=cosa,—y=sina,得2.—j=sinafa/3221x=co

10、sa+—f=sina,y=y/3・所以x+y=cos6r+V3sincr=2cos(a-60)<2(00,解得-2G52,故x+y取得最大值2,此时x=y=l,0C—0A+0B.【点评】明确目标，合理转化.将等式况=xOA+yOB两边同时平方，运用向量的数量积和模将原问题转化为/+尸=1的代数问题，使问题解决起来方便、简捷.解法2：以0A所在直线为x轴，O为坐标

11、原点，建立如图2所示的平面宜角坐标系，__］历贝UOA=（l,0）,O〃=（一一）o221=x--y,巧亍。设oC=(xpy1)oIA?由已知得(%j,yj=x(l,0)+y(——,即vJ因为点c在单位圆上，所以(坷+術)[由柯西不等式知(1+3)(彳+^)>3+◎)2,即4•1»(x+y)2,从而x+y<2.当且仅当^=^L,BPx1=-,yi=—(^>0)时取等号,1a/322故x+y的最大值为2.解法3：同解法2,也可设0C=(cos%sino)。2—7=sindz,V3由OC=xOA^yOB,得(cosa,si

12、na)=x(l,0)+y(--,—),即cosa二十丄佔“迴y,2・2・解得兀=cosq+葯sina,y易得x+y=cosa+V^sin”=2cos(a-6(T),因为0°<6r<120-60°<6^-60°<60°,所以

13、

14、作CD〃0B交OA于点D,则兀=OD,y=DC,AODC=60Z0CD=120-a.在4ODC中,由正弦定理得U-sina

15、0口sin(120°—a)所以y=CD咅in"

16、"咅sin(120r)=cz+挣isF同解法3。解法5：如图4所示，过点C作CE//04,交肓线OB于点E,作CFHOB,交直线04于点F,易知OC=OE+OF0因为OC=xOA+yOB,且

17、网=阿=1,所以OE=y,CE=OF=x,OC=1.在4OCE中，设ZCOE=a,x+ysina+sin(120°-a)则ZOCE=120°-a,ZCEO=60

18、°.根据止必止理启-0口（120。一0）-sin60°所以兀+y=

19、^sin4-sin（l20一a）］=2sin（6Z+—）,当c^+-=-,即OC=±吋，x+y収最大值，其值为2.623【点评】联想到向量加法的平行四边形法则，通过作图、运用正弦定理来解三角形，充分体现了向量的几何特征.解法6：设ZAOC=a（0°<