中考数学解题指导：二次函数最值的4种解法

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1、二次函数最值的4种解法看完不惧压轴题!从近几年的各地中考试卷来看，求面积的最值问题在压轴题中比较常见，而且通常与二次函数相结合。在这里小编以一道中考题为例,介绍几种不同的解题方法，供同学们参考，都掌握了之后一定会在压轴题上有一个大的提升。(PS.因格式问题，部分上标未能正常显示，望知悉。)一.题如图1,抛物线y二・x2+bx+c与x轴交于A(1,0),B(-3,0)两点。图1图2⑴求该抛物线的解析式;(2)设(1)中的抛物线交y轴于C点z在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得9AC的周长最小？若存在/求出Q点的坐标

2、；若不存在,请说明理由；⑶如图2,在⑴中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P,使"BC的面积最大？若存在,求出点P的坐标及"BC的面积最大值；若没有，请说明理由。鱷姣■

3、CO一S△磁S四边形肿CO若S四边形叭。有最大值，则S注就最大,S四边J^BPCO-SrzpE+S直角禅形砸0C二*BE・PE+¥)E(PE+OC)=寺(兀+3)(-A：?-2x+3)+*(-x)(-x2-2x+3+3)3当第=一亍时,9最大值=y+27T••ABPC最大值927927+—■=■■2828此时，_%2_2兀+315T・••点p坐标为（-寻，字）•方法二:如图4,设P点(x,・x2-2x+3)(-3

4、)-4-x3x327+T"铅垂高,水平竞"面积法如图5,过MBC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的〃水平宽〃（a）,中间的这条直线在3BC内部线段的长度叫MBC的〃铅垂高（h）〃」我们可得出一种计算三角形面积的另一种方法铅垂高乘积的一半。SMBC=〔々ah,即三角形面积等于水平宽与根据上述方法,本题解答如下：解：如图6，作PE丄x轴于点E,交BC于点F-x2-2x+3)(-3

5、2丄PF•OB2一~%-2%+3-(x+3)]29279.27・・・swc最大=y+3当％二-亍时,15=亍・••点P坐标为（-3/2r15/4）解法3切线法若要使APBC的面积最大，只需使BC上的高最大•过点P作BC的平行线1，当直线1与抛物线有唯-交点（即点P）时凤上的高最大，此时收的面积最大，于是，得到下面的切线法。解：如图7,直线BC的解析式是y二x+3,过点P作BC的平行线I,从而可设直线I的解析式为：y二x+b・联f3'ly二一兀一2久+3.2/.x+6=-x-2%+3,即x2+3x+6-3=0・由A=

6、32-4(6-3)=0,得6=务=-寻,M(0,%.此时BC上的高b最大，h=MC・sinzLCMP=MC•shi乙OCB_2x®也•-4乂2-8'S“bc=・h.=^-x3#x^=27/8解法4三角函数法本题也可直接利用三角函数法求得.解：如图8,作PE丄x轴交于点E,交BC于点F,作PM丄BC于点M.8设P点(x,・x2-2x+3)(-3

7、2-3x)・•・S“pc最大二鲁十辛227T一当x=_牙时,-x2-2%+3二芋2・••点P坐标为（-寺‘字）•从以上四种解法可以看到，本题解题思路都是过点P作辅助线,然后利用相关性质找岀各元素之间的关系进行求解。