浅析 利用二次函数的最值解题.doc

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1、浅析利用“二次函数”的最值解题随县一中杨福军关键词：二次函数，轴，区间，最值。引言：在高中数学中，有很多的题是通过讨论“二次函数”的最值來到达解题冃的的，且此题型是高考的热点Z-,因此，教师在教学中应给予重点关注，并指导学生学会此类型题的讨论方法。仔细分析不难发现，此类题型不外乎“轴定域定”、“轴变域定”、“轴定域变”、“轴变域变”等四种题型。就齐种题型浅析如下：一：“轴定域定”的题型例1：求函数y=2x-V7二1的最小值解析：此题为无理函数，解法很多。此题的通常想法是化“无理”为“有理”,即令r=(r>0),则原函数可化为：

2、y=2t2-t+2(r>0)即原题化成了“轴定(对称轴为：t=-)域定(宀0)”的二次函数的讨论问4题，数形结合一下，解起来就不难了。解：函数y=2x-1的定义域为x-1>0B

3、Jx>1令/=二T(r>0)可解得：x=r+所以，原函数可化为：国2・・•r>0（如图1的实线部分）所以ymin=~・••当r=-g[0,+co)时,y取最小值4二：“轴变域定”的题型13例2：当函数y=sin2x+2acosx・—a・—的最大值为1时，求a的值。22解析：木题利用三角函数的平方关系转化为二次函数的形式并不难，很容易化成：y=（cos

4、x・a）2+a2--a--此二次函数的自变量为cosx,是有界的,22即令t=cosx，则-1<1是确定的，即“域定”，但其对称轴为：匸a是变化的，即“轴变”。讨论时，只耍注意轴和区间的关系，通过数形结合，很容易求出函数的最大值，从而由题意求出a的值。解:y=sin2x+2acosx-—a■—=-cos2x+2acosx・—a■—=-(cosx-a)2+a2-—a■—222222令t=COSX贝IjXG/?・：-1

5、）冰=（-1-a）2+a2-丄去丄=-a--由题意可得：max222253——a-—=1解得：a=-l（-oo,-l）应舍去。22%1当JWaWl时，由函数图像(如图3的实线部分)易得，当匸a时，函数y取得最大值，且ymax=a2--a-i由题意可得：

6、

7、3a<-a--=l解得：a=-le[-l,l]或a=-^[-1,1]应舍去。翅4%1当a>l时，由函数图像(如图4的实线部分)易得，当t二1时，函数y取1

8、33最大值，且几(1-a)2+a2--a-i=-a--由题意可得：mdX2222235—a-—=1解得：a=-e(1,+

9、oo)223综上可得：a=-l或a=-3三：“轴定域变”的题型例3：设椭圆的屮心在原点，长轴在x轴上，离心率为迪，已知点P(0,-)22到这个椭圆上的点最远距离为V7,求这个椭圆的方程。解析：由椭圆的离心率0=逅可得：a=2b,若设M(x,y)是椭圆上2的任意一点，M与P的距离设为d则有:d2=x2+(y--)2VM(x,y)在椭圆上，由椭圆的方程可得：x2=a2--^vy22lr*・・・d2=a2・*y2+(y-j)2=-3y2-3y+4b2+1=3(y+1)2+4b2+3即得关于y的二次函数，因为点M在椭圆上，所以・bWy

10、Wb是变化的区间，即“域变”，而其对称轴是：y=--是确定的，即“轴定”。讨论时注意其中2b是椭圆的短半轴，值恒正，同时注意数形结合，就可解决此题。22解：设椭圆的方程为：冷+・"(a>b>0)a2b2由得a=2b且有：x2=a2-^y22ab2设M(x,y)是椭圆上的任一点，M与P的距离为d则有:d2=x2-$7$+(y--)2=-3y2-3y+4b2+-=3(y+-)2+4b2+3b2'242・・・M点在椭圆上，・・・・bWyWb①当・bW-丄时，即b^-时，由函数图像(如图5中的实线部分)易得:22当尸一£时，子取最大值

11、，即V72=4/;2+3因为b>0所以，解得：b=l此时，a=2满足条件：a>b>0②当-丄v-b<0即0

12、式，即u(x)=[x-(3+2m)]2-12m此函数是关于x的二次函数，其对称轴为：x=3+2m是变化的，即“轴变”，乂由y2>0m<0可得：/.xWm也是变化的，即“域变”,解此类型的题，应注意“字母”的范围和轴与区间的关系，数形有机结合，便可解。解:由已知可得:u(x)=