浅析 利用二次函数最值解题

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1、浅析利用“二次函数”的最值解题随县一中杨福军关键词:二次函数,轴,区间,最值。引言:在高中数学中,有很多的题是通过讨论“二次函数”的最值来到达解题目的的,且此题型是高考的热点之一,因此,教师在教学中应给予重点关注,并指导学生学会此类型题的讨论方法。仔细分析不难发现,此类题型不外乎“轴定域定”﹑“轴变域定”﹑“轴定域变”﹑“轴变域变”等四种题型。就各种题型浅析如下:一:“轴定域定”的题型例1:求函数的最小值解析:此题为无理函数,解法很多。此题的通常想法是化“无理”为“有理”,即令(),则原函数可化为:()即原题化成了“轴定(对称轴为:)域定()”的二次

2、函数的讨论问题,数形结合一下,解起来就不难了。解:函数的定义域为即令()可解得:所以,原函数可化为:7第7页共7页∵(如图1的实线部分)∴当时,y取最小值所以二:“轴变域定”的题型例2:当函数y=sin²x+2acosx-a-的最大值为1时,求a的值。解析:本题利用三角函数的平方关系转化为二次函数的形式并不难,很容易化成:y=-(cosx-a)²+a²-a-此二次函数的自变量为cosx,是有界的,即令t=cosx,则是确定的,即“域定”,但其对称轴为:t=a是变化的,即“轴变”。讨论时,只要注意轴和区间的关系,通过数形结合,很容易求出函数的最大值,从

3、而由题意求出a的值。解:y=sin²x+2acosx-a-=-cos²x+2acosx-a-=-(cosx-a)²+a²-a-令t=cosx则∵∴∴原函数可化为:y=-(t-a)²+a²-a-()①当a<-1时,由函数图像(如图2的实线部分)易得,当t=-1时,函数y取得最大值,且=-(-1-a)²+a²-a-=-a-由题意可得:a-=1解得:a=-1应舍去。7第7页共7页②当-1≤a≤1时,由函数图像(如图3的实线部分)易得,当t=a时,函数y取得最大值,且=a²-a-由题意可得:a²-a-=1解得:a=-1或a=应舍去。③当a>1时,由函数图像(

4、如图4的实线部分)易得,当t=1时,函数y取最大值,且=-(1-a)²+a²-a-=a-由题意可得:a-=1解得:a=(1,+)综上可得:a=-1或a=三:“轴定域变”的题型例3:设椭圆的中心在原点,长轴在x轴上,离心率为,已知点P(0,)到这个椭圆上的点最远距离为,求这个椭圆的方程。解析:由椭圆的离心率e=可得:a=2b,若设M(x,y)7第7页共7页是椭圆上的任意一点,M与P的距离设为d则有:d²=x²+(y-)²∵M(x,y)在椭圆上,由椭圆的方程可得:x²=a²-∴d²=a²-y²+(y-)²=-3y²-3y+4b²+=-3(y+)²+4b²

5、+3即得关于y的二次函数,因为点M在椭圆上,所以-b≤y≤b是变化的区间,即“域变”,而其对称轴是:y=-是确定的,即“轴定”。讨论时注意其中b是椭圆的短半轴,值恒正,同时注意数形结合,就可解决此题。解:设椭圆的方程为:(a>b>0)由e==得a=2b且有:x²=a²-设M(x,y)是椭圆上的任一点,M与P的距离为d则有:d²=x²-=-3y²-3y+4b²+=-3(y+)²+4b²+3∵M点在椭圆上,∴-b≤y≤b①当-b≤时,即b≥时,由函数图像(如图5中的实线部分)易得:当y=时,d²取最大值,即因为b>0所以,解得:b=1此时,a=2满足条件

6、:a>b>07第7页共7页②当<-b<0即0<b<时,由函数图像(如图6的实线部分)易得:当y=-b时,d²取最大值,即=-3b²+3b+4b²+=(b+)²解得:b=-或b=∵b=<0且b=∴都应舍去。综上可得:a=2b=1因此,所求椭圆的方程为:即四:“轴变域变”的题型例4:已知y²=4m(x-m)(m<0),求u=(x-3)²-y²的最小值。解析:首先找到u关于x的表达式,即u(x)=[x-(3+2m)]²-12m此函数是关于x的二次函数,其对称轴为:x=3+2m是变化的,即“轴变”,又由y²≥0m<0可得:x-m≤0∴x≤m也是变化的,即“域

7、变”,解此类型的题,应注意“字母”的范围和轴与区间的关系,数形有机结合,便可解。解:由已知可得:u(x)=(x-3)²-4m(x-m)=[x-(3+2m)]²-12m∵y²≥0m<0∴x-m≤0即x≤m所以u(x)=[x-(3+2m)]²-12m(x≤m)7第7页共7页①当3+2m<m即m<-3时,由函数图像(如图7中的实线部分)易得,当x=3+2m时,u(x)取得最小值,此时u(3+2m)=-12m②当3+2m≥m即-3≤m<0时,由函数图像(如图8中的实线部分)易得,当x=m时,u(x)取得最小值,此时=u(m)=(m-3)²综上可得:=7第7页

8、共7页总之,利用二次函数的最值解题时,应注意:其对称轴及自变量的取值是否变化;数形有机结合,根据轴及区间的情

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