2019-2020年高中第二册(下A)数学组合（4）

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1、2019-2020年高中第二册(下A)数学组合（4）【课　　题】组合【教学目标】1．掌握排列组合一些常见的题型及解题方法，能够运用两个原理及排列组合概念解决排列组合问题；2．提高合理选用知识解决问题的能力．【教学重点】组合应用问题．【教学难点】组合应用问题．【教学过程】一、复习引入：1．分类计数原理．2．分步计数原理．3．排列的概念．4．排列数的定义．5．排列数公式：（）6．阶乘：表示正整数1到的连乘积，叫做的阶乘规定．7．排列数的另一个计算公式：=．8组合的概念：一般地，从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个

2、组合．说明：⑴不同元素；⑵“只取不排”——无序性；⑶相同组合：元素相同9．组合数的概念：从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数．用符号表示．10．组合数公式：或．11组合数的性质1：．规定：；性质2：＝+二、讲解新课：例1．身高互不相同的7名运动员站成一排．（1）其中甲、乙、丙三人自左向右从高到矮排列的排法有多少种？（2）其中甲、乙、丙三人自左向右从高到矮排列且互不相邻的排法有多少种？解：（1）（法一）：设想有7个位置，先将其他4人排好，有种排法；再将甲、乙、丙三人自左向右从高到矮排在剩下的3个位置上，

3、只有1种排法，根据分步计数原理，一共有种方法．（法二）：设想有7个位置，先将甲、乙、丙三人自左向右从高到矮排在其中的3个位置上，有种排法；将其他4人排在剩下的4个位置上，有种排法；根据分步计数原理，一共有种方法．（2）（插空法）先将其余4个同学进行全排列一共有种方法，再将甲、乙、丙三名同学插入5个空位置中（但无需要进行排列）有种方法．根据分步计数原理，一共有种方法．例2．6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：（1）分给甲、乙、丙三人，每人2本；（2）分为三份，每份2本；（3）分为三份，一份1本，一份2本，一份3本；（4）分给甲、乙、丙

4、三人，一人1本，一人2本，一人3本；（5）分给甲、乙、丙三人，每人至少1本解：（1）根据分步计数原理得到：种；（2）分给甲、乙、丙三人，每人两本有种方法，这个过程可以分两步完成：第一步分为三份，每份两本，设有x种方法；第二步再将这三份分给甲、乙、丙三名同学有种方法．根据分步计数原理可得：，所以．因此，分为三份，每份两本一共有15种方法．点评：本题是分组中的“均匀分组”问题．一般地：将个不同元素均匀分成组（每组个元素），共有种方法．（3）这是“不均匀分组”问题，一共有种方法．（4）在（3）的基础上再进行全排列，所以一共有种方法．（5）可以分为三

5、类情况：①“2、2、2型”即（1）中的分配情况，有种方法；②“1、2、3型”即（4）中的分配情况，有种方法；③“1、1、4型”，有种方法；所以，一共有90+360+90＝540种方法．点评：本题第（3）种类型为部分均匀分组再分配，其分组总数为．思考（1）：8名球员住A、B、C三个房间，每个房间最多住3人，有多少种住宿方法？解：．思考（2）：六本相同的书发给甲、乙、丙三人，要求全部分完，不管三人是否均分到书．问有多少种不同的分法？解：用档板法处理，○

6、○○

7、○○○，结果为．点评：〖类题〗求不定方程的非负整数解的个数？练习：（1）四本不同的书，分

8、给三个人，每人至少一本，全部分完，有几种分法？解：先分组，再分配有种．（2）本不同的书，分给个人，每人至少1本，全部分完，有几种分法？解：先分组，再分配有种．（3）本相同的书，分给个人，每人至少1本，全部分完，有几种分法？解：共种分法．例3．（1）四个不同的小球放入四个不同的盒中，一共有多少种不同的放法？（2）四个不同的小球放入四个不同的盒中且恰有一个空盒的放法有多少种？解：（1）根据分步计数原理：一共有种方法；（2）（捆绑法）第一步：从四个不同的小球中任取两个“捆绑”在一起看成一个元素有种方法；第二步：从四个不同的盒中任取三个将球放入有种方

9、法，所以，一共有＝144种方法．说明：先组合，再排列是解决问题的关键．本题亦可先将4个小球分成三组，每组分别有1/1/2个，共再放入四个盒子中的三个，共有种．思考：（1）四个相同的小球放入四个不同的盒中，一共有多少种不同的放法？解：○

10、○

11、○

12、○，共．（2）10个相同的小球放入编号为1、2、3的盒子中，球数不少于编号数的放法有多少种？解：按要求放6个，其余4个按上题的方法放有．例3．3名飞行员和6名特勤人员分别上3架不同型号的直升飞机执行任务,每机11中飞行员和两名特勤人员，有多少种分配方法？解：先分组，再分配，．类题：20名同学分两组，每组

13、10人去某地社会实践，其中6名干部，每组3人，不同分法总数是多少？解：．例4．马路上有编号为1，2，3，…，10的十盏路灯，为节约用电又不影响照明，可以把其中3盏灯