2019届高考数学总复习 第九单元 解析几何 第64讲 圆锥曲线的综合应用检测

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1、第64讲　圆锥曲线的综合应用　1．(2014·新课标卷Ⅱ)设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为，求C的离心率；(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且

2、MN

3、＝5

4、F1N

5、，求a，b.(1)根据c＝及题设知M(c，)，因为＝，所以2b2＝3ac，将b2＝a2－c2代入2b2＝3ac，得2c2＋3ac－2a2＝0，解得＝或＝－2(舍去)．故C的离心率为.(2)由题意，原点O为F1F2的中点，MF2∥y轴，所以直

6、线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点，故＝4，即b2＝4a，①由

7、MN

8、＝5

9、F1N

10、得

11、DF1

12、＝2

13、F1N

14、.设N(x1，y1)，由题意知y1<0，则即代入C的方程，得＋＝1.将①及c＝代入②得＋＝1，解得a＝7，b2＝4a＝28，故a＝7，b＝2.2．(2016·北京卷)已知椭圆C：＋＝1过A(2,0)，B(0,1)两点．(1)求椭圆C的方程及离心率；(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值．(1)由题意得a＝2，b＝

15、1，所以椭圆C的方程为＋y2＝1.又c＝＝，所以离心率e＝＝.(2)证明：设P(x0，y0)(x0<0，y0<0)，则x＋4y＝4.又A(2,0)，B(0,1)，所以直线PA的方程为y＝(x－2)．令x＝0，得yM＝－，从而

16、BM

17、＝1－yM＝1＋.直线PB的方程为y＝x＋1.令y＝0，得xN＝－，从而

18、AN

19、＝2－xN＝2＋.所以四边形ABNM的面积S＝

20、AN

21、·

22、BM

23、＝＝＝＝2.从而四边形ABNM的面积为定值．3．(2017·湖南省六校联考)在圆x2＋y2＝1上任取一个动点P，作PQ⊥x轴于Q，M满足＝2，当P

24、在圆上运动时，M的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)曲线C与x轴正半轴、y轴正半轴分别交于A，B，直线y＝kx(k>0)与曲线C交于E，F，当四边形AEBF面积最大时，求k的值．(1)设M(x，y)，P(x0，y0)，则得而P(x0，y0)在圆x2＋y2＝1上，即x＋y＝1，故x2＋＝1，此即曲线C的方程．(2)由(1)知A(1,0)，B(0,2)，则直线AB的方程为2x＋y－2＝0.设E(x1，kx1)，F(x2，kx2)，其中x1

25、2＝－x1＝，①又点E，F到直线AB的距离分别为h1＝＝，h2＝＝，

26、AB

27、＝＝，所以四边形AEBF的面积为S＝

28、AB

29、(h1＋h2)＝··＝＝2＝2＝2≤2.当k2＝4(k>0)，即当k＝2时，上式取等号，所以当四边形AEBF面积最大时，k＝2.4．(2017·浙江卷)如图，已知抛物线x2＝y，点A(－，)，B(，)，抛物线上的点P(x，y)(－

30、PA

31、·

32、PQ

33、的最大值．(1)设直线AP的斜率为k，k＝＝x－，因为－

34、1

35、PA

36、＝(x＋)＝(k＋1)，

37、PQ

38、＝(xQ－x)＝－，所以

39、PA

40、·

41、PQ

42、＝－(k－1)(k＋1)3.令f(k)＝－(k－1)(k＋1)3，因为f′(k)＝－(4k－2)(k＋1)2，所以f(k)在区间(－1，)上单调递增，(，1)上单调递减，因此当k＝时，

43、PA

44、·

45、PQ

46、取得最大值.