2019年高考数学总复习检测第64讲　圆锥曲线的综合应用.pdf

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1、第64讲　圆锥曲线的综合应用x2y21．(2014·新课标卷Ⅱ)设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，M是a2b2C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N.3(1)若直线MN的斜率为，求C的离心率；4(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且

2、MN

3、＝5

4、F1N

5、，求a，b.b2(1)根据c＝a2－b2及题设知M(c，)，ab2a3因为＝，所以2b2＝3ac，2c4将b2＝a2－c2代入2b2＝3ac，c1c得2c2＋3ac－2a2＝0，解得＝或＝－2(舍去)．a2a1故C的离心率为.2(2)由题意，原点O为F1F2的中点，MF2∥y轴，所以直线MF1

6、与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点，b2故＝4，即b2＝4a，①a由

7、MN

8、＝5

9、F1N

10、得

11、DF1

12、＝2

13、F1N

14、.设N(x1，y1)，由题意知y1<0，则Error!即Error!9c21代入C的方程，得＋＝1.4a2b29a2－4a1将①及c＝a2－b2代入②得＋＝1，4a24a解得a＝7，b2＝4a＝28，故a＝7，b＝27.x2y22．(2016·北京卷)已知椭圆C：＋＝1过A(2,0)，B(0,1)两点．a2b2(1)求椭圆C的方程及离心率；(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值．(

15、1)由题意得a＝2，b＝1，x2所以椭圆C的方程为＋y2＝1.4c3又c＝a2－b2＝3，所以离心率e＝＝.a2(2)证明：设P(x0，y0)(x0<0，y0<0)，则x20＋4y20＝4.又A(2,0)，B(0,1)，y0所以直线PA的方程为y＝(x－2)．x0－22y02y0令x＝0，得yM＝－，从而

16、BM

17、＝1－yM＝1＋.x0－2x0－2y0－1直线PB的方程为y＝x＋1.x0x0令y＝0，得xN＝－，y0－1x0从而

18、AN

19、＝2－xN＝2＋.y0－1所以四边形ABNM的面积1S＝

20、AN

21、·

22、BM

23、21x02y0＝2＋1＋2(y0－1)(x0－2)x20＋4y20＋4x0y0－4

24、x0－8y0＋4＝2x0y0－x0－2y0＋22x0y0－2x0－4y0＋4＝＝2.x0y0－x0－2y0＋2从而四边形ABNM的面积为定值．3．(2017·湖南省六校联考)在圆x2＋y2＝1上任取一个动点P，作PQ⊥x轴于Q，M满→→足QM＝2QP，当P在圆上运动时，M的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)曲线C与x轴正半轴、y轴正半轴分别交于A，B，直线y＝kx(k>0)与曲线C交于E，F，当四边形AEBF面积最大时，求k的值．(1)设M(x，y)，P(x0，y0)，则Error!得Error!而P(x0，y0)在圆x2＋y2＝1上，y2即x20＋y20＝1，故x2＋＝1，

25、此即曲线C的方程．4(2)由(1)知A(1,0)，B(0,2)，则直线AB的方程为2x＋y－2＝0.设E(x1，kx1)，F(x2，kx2)，其中x1

26、2x1＋kx1－2

27、22＋k＋k2＋4h1＝＝，55k2＋4

28、2x2＋kx2－2

29、22＋k－k2＋4h2＝＝，55k2＋4

30、AB

31、＝22＋1＝5，所以四边形AEBF的面积为1142＋k22＋kS＝

32、AB

33、(h1＋h2)＝·5·＝225k2＋4k2＋444＋k2＋4k4k1＋

34、＝2＝21＋＝24k2＋4k2＋4k＋k≤22.当k2＝4(k>0)，即当k＝2时，上式取等号，所以当四边形AEBF面积最大时，k＝2.11394．(2017·浙江卷)如图，已知抛物线x2＝y，点A(－，)，B(，)，抛物线上的点P(x，242413y)(－

35、PA

36、·

37、PQ

38、的最大值．1x2－41(1)设直线AP的斜率为k，k＝＝x－，12x＋2131因为－

39、坐标是xQ＝.2k2＋11因为

40、PA

41、＝1＋k2(x＋)＝1＋k2(k＋1)，2k－1k＋12

42、PQ

43、＝1＋k2(xQ－x)＝－，k2＋1所以

44、PA

45、·

46、PQ

47、＝－(k－1)(k＋1)3.令f(k)＝－(k－1)(k＋1)3，因为f′(k)＝－(4k－2)(k＋1)2，11所以f(k)在区间(－1，)上单调递增，(，1)上单调递减，22127因此当k＝时，

48、PA

49、·

50、PQ

51、取得最大值.216