2019年高考数学总复习检测第20讲　导数的实际应用及综合应用.pdf

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1、第20讲　导数的实际应用及综合应用1．某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单a位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2，其中3＜x＜6，a为常数．已知销售价格为5x－3元/千克时，每日可售出该商品11千克．(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．a(1)因为当x＝5时，y＝11，所以＋10(5－6)2＝11，解得a＝2.5－32(2)由(1)知该商品每日的销售量y＝＋10(x－6)2(3＜x＜6)，x－3所以该商场每日销售该商品所获得的利润2f(x)＝[＋10(x－6)2

2、](x－3)x－3＝2＋10(x－3)(x－6)2(3＜x＜6)，所以f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)(x－6)．当x变化时，f(x)，f′(x)的变化情况如下表x(3,4)4(4,6)f′(x)＋0－f(x)单调递增极大值42单调递减由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点，所以当x＝4时，f(x)max＝42.答：当销售价格定为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．2．请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得

3、A、B、C、D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F是AB上被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝x(cm)．(1)若广告商要包装盒侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？(2)若广告商要包装盒容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．(1)根据题意，有2S＝4·2x·(60－2x)＝240x－8x22＝－8(x－15)2＋1800(0

4、0时，V′>0，V单调递增；当200，则由f′(x)＝0得

5、x＝lna.当x∈(－∞，lna)时，f′(x)<0；当x∈(lna，＋∞)时，f′(x)>0.故f(x)在(－∞，lna)上单调递减，在(lna，＋∞)上单调递增．a③若a<0，则由f′(x)＝0得x＝ln(－)．2a当x∈(－∞，ln(－))时，f′(x)<0；2a当x∈(ln(－)，＋∞)时，f′(x)>0.2aa故f(x)在(－∞，ln(－))上单调递减，在(ln(－)，＋∞)上单调递增．22(2)①若a＝0，则f(x)＝e2x，所以f(x)≥0.②若a>0，则由(1)得，当x＝lna时，f(x)取得最小值，最小值为f(lna)＝－a2lna，从而当且仅当－a2lna≥0，即a≤

6、1时，f(x)≥0.③若a<0，则由(1)得，a当x＝ln(－)时，f(x)取得最小值，2a3a最小值为f(ln(－))＝a2[－ln(－)]，2423a从而当且仅当a2[－ln(－)]≥0，423即a≥－2e时，f(x)≥0.43综上，a的取值范围是[－2e，1]．41e4．(2016·四川卷)设函数f(x)＝ax2－a－lnx，g(x)＝－，其中a∈R，e＝2.718…为自xex然对数的底数．(1)讨论f(x)的单调性；(2)证明：当x>1时，g(x)>0；(3)确定a的所有可能取值，使得f(x)>g(x)在区间(1，＋∞)内恒成立．12ax2－1(1)由题意得f′(x)＝2ax－＝

7、(x＞0)．xx当a≤0时，f′(x)＜0，f(x)在(0，＋∞)内单调递减．1当a＞0时，由f′(x)＝0有x＝，2a1当x∈(0，)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；2a1当x∈(，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．2a(2)证明：令s(x)＝ex－1－x，则s′(x)＝ex－1－1.当x＞1时，s′(x)＞0，所以ex－1＞x，11从而g(x)＝－＞0.xex－1(3)由(2)知，当x＞1时，g(x)＞0.当a≤