2019年高考数学总复习检测第18讲 导数的综合应用——导数与不等式.pdf

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1、第18讲 导数的综合应用——导数与不等式11.定义域为R的函数f(x)满足f(1)=1,且f(x)的导函数f′(x)>,则满足2f(x)

2、x<1}B.{x

3、-1

4、x<-1或x>1}D.{x

5、x>1}令g(x)=2f(x)-x-1,则g′(x)=2f′(x)-1>0,所以g(x)在R上为增函数,又g(1)=2f(1)-1-1=0,所以g(x)<0⇔x<1.即原不等式的解集为{x

6、x<1}.2.f(x)是定义在(0,+∞)上的非负可导函数且满足xf′(x)-f(x)≤0,对任

7、意正数a,b,若ax(x>0)B.sinx0)2C.x>sinxD.以上各式都不对π令g(x)=sinx-x,则g′(x)=cosx-1≤0,所以g(x)在(0,+∞)上

8、单调递减,所以g(x)0,所以f(x)的最小值为f(0)=1+a.由1+a>0,得a的取值范围为(-1,+∞

9、).5.已知f(x)=xex,g(x)=-(x+1)2+a,若∃x1,x2∈R,使得f(x2)≤g(x1)成立,则实数1a的取值范围是[-,+∞).e因为f′(x)=ex+xex=(1+x)ex,当x>-1时,f′(x)>0,f(x)单调递增;当x<-1时,f′(x)<0,f(x)单调递减,1所以当x=-1时,f(x)取得极小值即最小值f(-1)=-.e函数g(x)的最大值为a,∃x1,x2∈R,使得f(x2)≤g(x1)成立,则有g(x)的最大值大于或等于f(x)的最小值,所以1a≥-.eπ6.(2017·河南模拟)设f(

10、x)=x3+x,x∈R,当0≤θ≤时,f(msinθ)+f(1-m)>0恒成立,2则实数m的取值范围是(-∞,1).因为f′(x)=3x2+1>0,所以f(x)在R上为增函数,又f(x)为奇函数,所以条件即为f(msinθ)>f(m-1),π所以msinθ>m-1对θ∈[0,]恒成立,2π即m(1-sinθ)<1对θ∈[0,]恒成立,2π因为θ=时,上式恒成立;2π1当θ∈[0,)时,m<,则m<1.21-sinθ7.(2017·新课标卷Ⅲ)已知函数f(x)=lnx+ax2+(2a+1)x.(1)讨论f(x)的单调性;3(2

11、)当a<0时,证明f(x)≤--2.4a(1)f(x)的定义域为(0,+∞),1x+12ax+1f′(x)=+2ax+2a+1=.xx若a≥0,则当x∈(0,+∞)时,f′(x)>0,故f(x)在(0,+∞)上单调递增.1若a<0,则当x∈(0,-)时,f′(x)>0;2a1当x∈(-,+∞)时,f′(x)<0.2a11故f(x)在(0,-)上单调递增,在(-,+∞)上单调递减.2a2a11(2)证明:由(1)知,当a<0时,f(x)在x=-处取得最大值,最大值为f(-)=ln(-2a2a11)-1-.2a4a311

12、311所以f(x)≤--2等价于ln(-)-1-≤--2,即ln(-)++1≤0.4a2a4a4a2a2a1设g(x)=lnx-x+1,则g′(x)=-1.x当x∈(0,1)时,g′(x)>0;当x∈(1,+∞)时,g′(x)<0,所以g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.故当x=1时,g(x)取得最大值,最大值为g(1)=0.所以当x>0时,g(x)≤0.11从而当a<0时,ln(-)++1≤0,2a2a3即f(x)≤--2.4a8.若0lnx2-lnx1B

13、.ex2-ex1x1ex2D.x2ex1

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