2019年高考数学总复习检测第64讲 圆锥曲线的综合应用.doc

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1、第64讲 圆锥曲线的综合应用 1.(2014·新课标卷Ⅱ)设F1,F2分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,M是C上一点且MF2与x轴垂直,直线MF1与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为,求C的离心率;(2)若直线MN在y轴上的截距为2,且

2、MN

3、=5

4、F1N

5、,求a,b.(1)根据c=及题设知M(c,),因为=,所以2b2=3ac,将b2=a2-c2代入2b2=3ac,得2c2+3ac-2a2=0,解得=或=-2(舍去).故C的离心率为.(2)由题意,原点O为F1F2的中点,MF2∥y轴,所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点,故=4,即b

6、2=4a,①由

7、MN

8、=5

9、F1N

10、得

11、DF1

12、=2

13、F1N

14、.设N(x1,y1),由题意知y1<0,则即代入C的方程,得+=1.将①及c=代入②得+=1,解得a=7,b2=4a=28,故a=7,b=2.2.(2016·北京卷)已知椭圆C:+=1过A(2,0),B(0,1)两点.(1)求椭圆C的方程及离心率;(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N,求证:四边形ABNM的面积为定值.(1)由题意得a=2,b=1,所以椭圆C的方程为+y2=1.又c==,所以离心率e==.(2)证明:设P(x0,y0)(x0<0,y0<0),则x+4y=

15、4.又A(2,0),B(0,1),所以直线PA的方程为y=(x-2).令x=0,得yM=-,从而

16、BM

17、=1-yM=1+.直线PB的方程为y=x+1.令y=0,得xN=-,从而

18、AN

19、=2-xN=2+.所以四边形ABNM的面积S=

20、AN

21、·

22、BM

23、====2.从而四边形ABNM的面积为定值.3.(2017·湖南省六校联考)在圆x2+y2=1上任取一个动点P,作PQ⊥x轴于Q,M满足=2,当P在圆上运动时,M的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程;(2)曲线C与x轴正半轴、y轴正半轴分别交于A,B,直线y=kx(k>0)与曲线C交于E,F,当四边形AEBF面积最大时,求k的值.(1)

24、设M(x,y),P(x0,y0),则得而P(x0,y0)在圆x2+y2=1上,即x+y=1,故x2+=1,此即曲线C的方程.(2)由(1)知A(1,0),B(0,2),则直线AB的方程为2x+y-2=0.设E(x1,kx1),F(x2,kx2),其中x1

25、AB

26、==,所以四边形AEBF的面积为S=

27、AB

28、(h1+h2)=··==2=2=2≤2.当k2=4(k>0),即当k=2时,上式取等号,所以当四边形AEBF面积最大时,k=2.4.(2

29、017·浙江卷)如图,已知抛物线x2=y,点A(-,),B(,),抛物线上的点P(x,y)(-

30、PA

31、·

32、PQ

33、的最大值.(1)设直线AP的斜率为k,k==x-,因为-

34、PA

35、=(x+)=(k+1),

36、PQ

37、=(xQ-x)=-,所以

38、PA

39、·

40、PQ

41、=-(k-1)(k+1)3.令f(k)=-(k-1)(k+1)3,因为f′(k)=-(4k-2)(k+1)2,所以f(k)

42、在区间(-1,)上单调递增,(,1)上单调递减,因此当k=时,

43、PA

44、·

45、PQ

46、取得最大值.

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