2019-2020年高中数学第二章空间向量与立体几何2.4用向量讨论垂直与平行教学案北师大版选修2-1

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1、2019-2020年高中数学第二章空间向量与立体几何2.4用向量讨论垂直与平行教学案北师大版选修2-1已知直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2；平面π1，π2的法向量分别为n1，n2.问题1：若直线l1∥l2，直线l1垂直于平面π1，则它们的方向向量和法向量有什么关系？提示：u1∥u2∥n1.问题2：若l1⊥l2，l1∥π2呢？提示：u1⊥u2，u1⊥n2.问题3：若π1∥π2，则n1，n2有什么关系？提示：n1∥n2.1．空间中平行、垂直关系的向量表示设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面π1，π2的法

2、向量分别为n1，n2，则线线平行l∥m⇔a＝kb(k∈R)线面平行l∥π1⇔a⊥n1⇔a·n1＝0面面平行π1∥π2⇔n1∥n2⇔n1＝kn2(k∈R)线线垂直l⊥m⇔a·b＝0线面垂直l⊥π1⇔a∥n1⇔a＝kn1(k∈R)面面垂直π1⊥π2⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝02.三垂线定理若平面内的一条直线垂直于平面外的一条直线在该平面上的投影，则这两条直线垂直．3．面面垂直的判定定理若一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直．一条直线可由一点及其方向向量确定，平面可由一点及其法向量确定，因此可利用直线的

3、方向向量与平面的法向量的平行、垂直来判定直线、平面的位置关系．这是向量法证明垂直、平行关系的关键．第一课时　空间向量与平行关系由直线的方向向量与平面的法向量判定线面位置关系[例1]　(1)设a，b分别是两条不同直线l1，l2的方向向量，根据下列条件判断l1与l2的位置关系：①a＝(2,3，－1)，b＝(－6，－9,3)；②a＝(5,0,2)，b＝(0,4,0)；③a＝(－2,1,4)，b＝(6,3,3)．(2)设n1，n2分别是两个不同平面π1，π2的法向量，根据下列条件判断π1，π2的位置关系：①n1＝(1，

4、－1,2)，n2＝(3,2，－)；②n1＝(0,3,0)，n2＝(0，－5,0)；③n1＝(2，－3,4)，n2＝(4，－2,1)．(3)设n是平面π的法向量，a是直线l的方向向量，根据下列条件判断π和l的位置关系：①n＝(2,2，－1)，a＝(－3,4,2)；②n＝(0,2，－3)，a＝(0，－8,12)；③n＝(4,1,5)，a＝(2，－1,0)．[思路点拨]　本题可由直线的方向向量、平面的法向量之间的关系，转化为线线、线面及面面之间的关系．[精解详析]　(1)①∵a＝(2,3，－1)，b＝(－6，－9,3

5、)，∴a＝－b.∴a∥b，∴l1∥l2.②∵a＝(5,0,2)，b＝(0,4,0)，∴a·b＝0.∴a⊥b.∴l1⊥l2.③∵a＝(－2,1,4)，b＝(6,3,3)，∴a与b不共线，也不垂直．∴l1与l2的位置关系是相交或异面(不垂直)．(2)①∵n1＝(1，－1,2)，n2＝，∴n1·n2＝3－2－1＝0.∴n1⊥n2，∴π1⊥π2.②∵n1＝(0,3,0)，n2＝(0，－5,0)，∴n1＝－n2，∴n1∥n2.∴π1∥π2.③∵n1＝(2，－3,4)，n2＝(4，－2,1)，∴n1与n2既不共线，也不垂直

6、．∴平面π1和π2相交(不垂直)．(3)①∵n＝(2,2，－1)，a＝(－3,4,2)，∴n·a＝－6＋8－2＝0.∴n⊥a.∴直线l和平面π的位置关系是lπ或l∥π.②∵n＝(0,2，－3)，a＝(0，－8,12)，∴n＝－a.∴n∥a.∴l⊥π.③∵n＝(4,1,5)，a＝(2，－1,0)，∴n和a既不共线，也不垂直．∴l与π斜交．[一点通]　用向量法来判定线面位置关系时，只需判断直线的方向向量与平面的法向量位置关系即可．线线间位置关系与方向向量关系相同，面面间位置关系与法向量间关系相同，线面间的位置关系

7、与向量间位置关系不同，只是平行与垂直的互换．1．设直线l的方向向量为a，平面π的法向量为b，若a·b＝0，则(　　)A．l∥π　　　　　　　　　B．lπC．l⊥πD．lπ或l∥π解析：当a·b＝0时，lπ或l∥π.答案：D2．若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l不在平面α内，则能使l∥α的是(　　)A．a＝(1,0,0)，n＝(－2,0,0)B．a＝(1,3,5)，n＝(1,0,1)C．a＝(0,2,1)，n＝(－1,0，－1)D．a＝(1，－1,3)，n＝(0,3,1)解析：直线l的方向向

8、量为a，平面α的法向量为n，要使l∥α，则a⊥n，∴a·n＝0.只有D中a·n＝0.答案：D3.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，H，G分别是AA1，AB，CC1，C1D1的中点，求证：EF∥HG.证明：以D为原点，DA、DC、DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图．设正方体的棱长为2，则E，F，H，G的坐标分别为E(2,0,1)，F(2,1,0)，