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《2019-2020年高考数学一轮总复习 第七章 第6节 空间直角坐标系及空间向量练习》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2019-2020年高考数学一轮总复习第七章第6节空间直角坐标系及空间向量练习一、选择题1.已知a=(λ+1,0,2),b=(6,2μ-1,2λ),若a∥b,则λ与μ的值可以是( )A.2, B.-,C.-3,2D.2,2[解析] 由题意知:解得或[答案] A2.在空间四边形ABCD中,·+·+·=( )A.-1B.0C.1D.不确定[解析] 如图,令=a,=b,=c,则·+·+·=a·(c-b)+b·(a-c)+c·(b-a)=a·c-a·b+b·a-b·c+c·b-c·a=0.[答案] B3.如图所示,PD垂直于正方形ABCD所在平面,AB=2,E为PB的中点,
2、cos〈,〉=,若以DA,DC,DP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则点E的坐标为( )A.(1,1,1)B.C.D.(1,1,2)[解析] 设PD=a,则A(2,0,0),B(2,2,0),P(0,0,a),E,∴=(0,0,a),=,∵cos〈,〉=,∴=a·,∴a=2.∴E的坐标为(1,1,1).[答案] A4.(xx·武汉模拟)二面角αlβ为60°,A,B是棱l上的两点,AC,BD分别在半平面α,β内,AC⊥l,BD⊥l,且AB=AC=a,BD=2a,则CD的长为( )A.2aB.aC.aD.a[解析] ∵AC⊥l,BD⊥l,∴〈,〉=60°,且·=0,·
3、=0,∴=++,∴
4、
5、===2a.[答案] A5.正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为a,点M在AC1上且=,N为B1B的中点,则
6、
7、为( )A.aB.aC.aD.a[解析] 以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,则A(a,0,0),C1(0,a,a),N.设M(x,y,z).∵点M在AC1上且=,∴(x-a,y,z)=(-x,a-y,a-z)∴x=a,y=,z=.∴M,∴
8、
9、==a.[答案] A6.如图所示,已知空间四边形OABC,OB=OC,且∠AOB=∠AOC=,则cos〈,〉的值为( )A.0B.C.D.[解析] 设=a,=b,=c,由已知条件〈a,b〉
10、=〈a,c〉=,且
11、b
12、=
13、c
14、,·=a·(c-b)=a·c-a·b=
15、a
16、
17、c
18、-
19、a
20、
21、b
22、=0,∴cos〈,〉=0.[答案] A二、填空题7.(xx·台州模拟)已知a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),且
23、a
24、=5,
25、b
26、=6,a·b=30,则=________.[解析] 设向量a与b的夹角为θ(0≤θ≤π),由已知及向量数量积的定义得:a·b=
27、a
28、·
29、b
30、cosθ=5×6×cosθ=30,所以cosθ=1,所以θ=0,所以a∥b.又因为a与b均为非零向量,且
31、a
32、=5,
33、b
34、=6,所以可得b=a,即(b1,b2,b3)=(a1,a2,a3),从而有:===,
35、得:=.[答案] 8.如图所示,已知二面角α—l—β的平面角为θ,AB⊥BC,BC⊥CD,AB在平面β内,BC在l上,CD在平面α内,若AB=BC=CD=1,则AD的长为________.[解析] =++,所以2=2+2+2+2·+2·+2·=1+1+1+2cos(π-θ)=3-2cosθ,所以
36、
37、=,即AD的长为.[答案] 9.已知a=(1-t,1-t,t),b=(2,t,t),则
38、b-a
39、的最小值为________.[解析] b-a=(1+t,2t-1,0),∴
40、b-a
41、==,∴当t=时,
42、b-a
43、取得最小值.[答案] 三、解答题10.已知空间中三点A(-2,0,2),B(-1
44、,1,2),C(-3,0,4),设a=,b=.(1)求向量a与向量b的夹角的余弦值;(2)若ka+b与ka-2b互相垂直,求实数k的值.[解] (1)∵a=(1,1,0),b=(-1,0,2),∴a·b=(1,1,0)·(-1,0,2)=-1,又
45、a
46、==,
47、b
48、==,∴cos〈a,b〉===-,即向量a与向量b的夹角的余弦值为-.(2)法一 ∵ka+b=(k-1,k,2).ka-2b=(k+2,k,-4),且ka+b与ka-2b互相垂直,∴(k-1,k,2)·(k+2,k,-4)=(k-1)(k+2)+k2-8=0,∴k=2或k=-,∴当ka+b与ka-2b互相垂直时,实数k的值
49、为2或-.法二 由(1)知
50、a
51、=,
52、b
53、=,a·b=-1,∴(ka+b)·(ka-2b)=k2a2-ka·b-2b2=2k2+k-10=0,得k=2或k=-.11.(xx·汕头模拟)已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为3,点E在AA1上,点F在CC1上,且AE=FC1=1.(1)求证:E,B,F,D1四点共面;(2)若点G在BC上,BG=,点M在BB1上,GM⊥BF,垂足为H,求证:EM⊥平面BCC1B1.[证明] (1)建立如图所示的空间直角坐标系,则B(0