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《2019_2020学年高中数学第2章平面向量章末复习课讲义苏教版必修4》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第2章平面向量向量的线性运算 如图所示，在△ABC中，点M为AB的中点，且＝，与相交于点E，设＝a，＝b，试以a，b为基底表示.思路点拨：先由C，E，M三点共线⇒＝μ＋(1－μ)，由B，E，N三点共线⇒＝λ＋(1－λ)，再由，不共线求λ，μ的值．[解] ∵＝＝b，＝＝a，由N，E，B三点共线知存在实数λ满足＝λ＋(1－λ)＝λb＋(1－λ)a.由C，E，M三点共线知存在实数μ满足＝μ＋(1－μ)＝a＋(1－μ)b.∴解得∴＝a＋b.向量共线定理和平面向量基本定理是进行向量合成与分解的核心，是向量线性运算的关键所
2、在，常应用它们解决平面几何中的共线、共点问题.1．经过△OAB重心G的直线与OA，OB分别交于点P，Q，设＝m，＝n，m，n∈R，求＋的值．[解] 设＝a，＝b，则＝(a＋b)，＝－＝nb－ma，＝－＝(a＋b)－ma＝a＋b.由P，G，Q共线得，存在实数λ使得＝λ，即nb－ma＝λa＋λb，则消去λ，得＋＝3.向量的数量积运算 设向量＝a，＝b，且
3、
4、＝
5、
6、＝4，∠AOB＝60°.(1)求
7、a＋b
8、，
9、a－b
10、；(2)求a＋b与a的夹角θ1，a－b与a的夹角θ2.思路点拨：利用
11、a±b
12、＝求解；利用cosθ＝
13、求夹角．[解] (1)∵
14、a＋b
15、2＝(a＋b)(a＋b)＝
16、a
17、2＋2a·b＋
18、b
19、2＝16＋2×4×4cos60°＋16＝48，∴
20、a＋b
21、＝4，∴
22、a－b
23、2＝
24、a
25、2－2a·b＋
26、b
27、2＝16，∴
28、a－b
29、＝4.(2)∵(a＋b)·a＝
30、a
31、2＋a·b＝16＋4×4cos60°＝24，∴cosθ1＝＝＝.∵θ∈[0°，180°]，∴θ1＝30°.∵(a－b)·a＝
32、a
33、2－a·b＝16－4×4cos60°＝8，∴cosθ2＝＝＝.∵θ2∈[0°，180°]，∴θ2＝60°.1．数量积的计算通常有三种方法
34、：数量积的定义，坐标运算，数量积的几何意义．2．可以利用数量积求向量的模和夹角，向量要分解成题中已知向量的模和夹角进行计算．2．已知c＝ma＋nb，c＝(－2，2)，a⊥c，b与c的夹角为，b·c＝－4，
35、a
36、＝2，求实数m，n的值及a与b的夹角．[解] ∵c＝(－2，2)，∴
37、c
38、＝4，又a⊥c，∴a·c＝0.∵b·c＝
39、b
40、
41、c
42、cos＝
43、b
44、×4×＝－4，∴
45、b
46、＝2.又c＝ma＋nb，∴c2＝ma·c＋n·b·c，∴16＝－4n，∴n＝－4.又a·c＝ma2＋na·b，∴0＝8m－4a·b.①又b·c＝
47、ma·b＋n·b2，∴ma·b＝12.②由①②得m＝±，∴a·b＝±2，设a与b的夹角为θ，则cosθ＝＝±，∵θ∈[0，π]∴θ＝或.向量的应用 如图，在等腰直角△ABC中，角C是直角，CA＝CB，D是CB的中点，E是AB上的一点，且AE＝2EB，求证：AD⊥CE.思路点拨：欲证AD⊥CE，即证·＝0.由于已有·＝0，故考虑选此两向量为基底，从而应用此已知条件．另外，如果进一步考虑到此组基底是垂直关系，还可以建立直角坐标系．[解] 法一：记＝a，＝b，则＝b－a，且a·b＝0，
48、a
49、＝
50、b
51、.因为＝－＝b－a
52、，＝－＝(b－a)＋a＝b＋a，所以·＝·＝b2－a2＝0.可得AD⊥CE.法二：建立如图所示的直角坐标系，不妨设AC＝BC＝2，则C(0,0)，A(2,0)，B(0,2)，因为D是CB的中点，则D(0,1)．所以＝(－2,1)，＝(－2,2)．又＝＋＝＋＝(2,0)＋(－2,2)＝，所以·＝(－2,1)·＝(－2)×＋＝0，因此AD⊥CE.把几何图形放到适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而解决问题.这样的解题方法具有普遍性.3.如图，在细绳O处用水平力F2
53、缓慢拉起所受重力G的物体，绳子与铅垂线方向的夹角为θ，绳子所受到的拉力为F1，求：(1)
54、F1
55、，
56、F2
57、随角θ的变化而变化的情况．(2)当
58、F1
59、≤2
60、G
61、时，θ角的取值范围．(3)当
62、F1
63、＝2
64、F2
65、时，求角θ的值．[解] (1)由力的平衡原理知，G＋F1＋F2＝0，作向量＝F1，＝F2，＝－G，则＋＝，∴四边形OACB为平行四边形，如图．由已知∠AOC＝θ，∠BOC＝，∴
66、
67、＝，
68、
69、＝
70、
71、＝
72、
73、tanθ，即
74、F1
75、＝，
76、F2
77、＝
78、G
79、tanθ，θ∈.由此可知，当θ从0°逐渐增大趋向于时，
80、F1
81、，
82、F2
83、
84、都逐渐增大．(2)当
85、F1
86、≤2
87、G
88、时，有≤2
89、G
90、，∴cosθ≥，又θ∈.∴θ∈.(3)当
91、F1
92、＝2
93、F2
94、时，＝2
95、G
96、tanθ，∴＝，∴sinθ＝.∴θ＝.数形结合思想【例4】 已知向量＝(2,0)，＝(2,2)，＝(cosα，sinα)，则与夹角的范围是________．思路点拨：结合的坐标给出点A的轨迹，并由直线与圆的知识求与夹角的范围． [建立如图所示的直角坐标系．∵
